四种经典平差模型的分析与设计.docx

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在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提
高测量精度,但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同,可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种。通过对它们的分析,可以很好地解决生产实践中的实际问题,亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。
条件平差模型
条件平差的函数模型:
AV+W=0
其中
a1
a2
an
wa
v1
b1
b2
bn
wb
v2
A=
,W=
,V=
r1
r2
rn
wr
vn
随机模型:
D=02Q
法方程:
NaaK
W
0
其中:
Naa
AQAT
解之得
K=
Naa1W
误差方程
:
V=
QATK
观测量平差值:
LL
V
平差值函数:
f(L1
L2
Ln)
其权函数式为
d
f1*dL1
f2*dL2
fn
*dLn,fi
f
Li
单位权方差的估值:
2
VTPV
,0
VTPV
0
r
r
平差值函数 的协因数阵:
Q fTQf (AQf)TNaa1AQf
条件平差的基本向量的协因数和互协因数
附有限制参数的条件平差模型
在一个平差问题中,如果观测值个数为n,必要观测数为t,则多余观测数r=n-t。若不增选参数,只需列出r个条件方程,这就是条件平差方法。如果又选了u个独立量为参数
0<u<t)参加平差计算,这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型,这就是附有参数的条件平差方法。
A*V
B*x
W
0
②
c,n
n,1
c,u
u,1
c,1
式中,V为观测值L的改正数,
x为参数近似值
X0的改正值,即
u,1
L
L
V,X
X0
x
随机模型:
D=02Q
02P1
为了求出能使VTPV
min的一组解,按求函数条件极值的方法,组成函数
VTPV
2KT(AV
BxW)
式中,K是对应于条件方程②的联系数向量,
为求
的极小值,将其分别对V和x求一阶导
数并令其等于零,则有
V
2VTP
2KTA
0
x
2KT
B0
由两式转置之后第一式左乘 P1,再加②式得其基础方程
AV
Bx
W0
c,nn,1
c,uu,,1
c,1
V P1AT

K
n,1

n,n

n,c

c,1
BTK 0
u,c c,1
解算此基础方程,

通常是将其中的改正数方程代入条件方程,

得到一组包含

K和

x

的
u,,1
对称线性方程组,即
AQATK

Bx

w

0
BTK 0
令Na,a AQAT,上式也可写成:
Na,aK Bx W 0
③
BTK0
上式称为附有参数的的条件平差的法方程。
解上面的的第一式得,
K
Naa1(Bx
W)
又以BTNaa1左乘③的第一式,并与第二式想减,且令
NbbBTNaa1B,得:
Nbbx
BNaa1W
0
解之,得
x
Nbb1BTNaa1W
求出x后,即可求得
K,最后可以求定
V:
V
QATNaa1(Bx
W)
继而,可计算平差值
L
L
V,XX0
x
平差值的权函数式为
d FTdL FxtdX
单位权方差的估值:
2VTPV
VTPV
,0
VTPV
0
r
cu
r
平差值函数 的协因数阵:
Q
FTQLLFFTQLXFxFxTQXLFFxTQXXFx
其中,QLL、QLX
、QXL、QXX可以通过查表获得它们的的公式
L
L Q
AQ
QXXBT
Naa1AQ

W
X
QAT
QATNaa1
BQXX
Naa BQXX
QXXBT Nbb1

K V
QATQKK QVV
NaaQKK NaaQKKAQ
0 0

L
QVV
BQXXBTNaa1AQ
Nbb1BTNaa1AQ
K
QKKAQ
V
QVV

QKKNaa
QAT

0

Naa1 Naa1 QKKAQ
BQXXBTNaa1
QATQKK QATQKKAQ

0
L Q QVV

QKKNaa
0
QATNaa1
QATNaa1
BQXXBT
BNbb1

0 0

0
QVV
间接平差模型
在一个平差问题中, 当所选的独立参数 X的个数等于必要观测数 t时,可将每个观测
值表达成这 t个参数的函数,组成观测方程,这种以观测方程为函数模型的平差方法, 这就
是间接平差。
间接平差的函数模型为
L BX d
n,1 n,tt,1 n,1
平差时,对参数 X都要取近似值 X0,令
X X0 x
l L (BX0 d)
由此可得误差方程
V Bx l
上面中的:
B

a1 b1
a2 b2

t1
t2
an bn

tn
V v1 v2

vn

T
x x1 x2

xn

T
按最小二乘原理,上式的 x必须满足VTPV
故可按数学上求函数自由极值的方法,得
VTPV
T
V
V
T
PB0
2V
P
x
x
经转置后得间接平差的基础方程:
BTPV 0
④
V Bx l
解此基础方程,一般是先消去 V,得
BTPBx BTPl 0
令
NBB BTPB,W BTPl
上式可简写成

min的要求,因为 t个参数为独立量,
NBBx W 0
上式称为间接平差的法方程。
解之,得
NBB1W
将求出的x代入误差方程,即可求得改正数,从而平差结果为
L L V,X X0 x
单位权中误差:
0
VTPV
VTPV
r
nt
平差参数X的协方差阵:
DXX 02QXX 02NBB1
平差参数的协方差阵
权函数式:
d FTx
协因数:
Q?? FTQ??F FTNbb1F
XX
方差:
D 02Q
附有限制条件的间接平差模型
在一个平差问题中,多余观测数 r=n-t,如果在平差中选择的参数个数 u>t个,其中
包含了t个独立参数,则参数间存在 s=u-t 个限制条件。平差时列出 n个观测方程和 s个限
制参数间关系的条件方程,以此为函数模型点的平差方法,就是附有限制条件的间接平差。
附有限制条件的间接平差的函数模型:
V
?
l
Bx
n1
n
uu1
n1
?
W
s01
Csuux1
x
s1
其中,
R(B)=u,R(C)=s,u<n,s<n
即B为列满秩阵,C为行满秩阵
随机模型:
D
2
Q
2
p
1
0
0
nn
在附有限制条件的间接平差的函数模型中,待求量
n个改正数和u个参数,而方程个
数为n+u,少于待求量的个数,故是有无穷多组解的一组相容方程。为此,应在无穷多组解
中求出能使VTPV
min的一组解。按求条件极值法组成函数:
V
T
PV
2K
T
?
s
x
(CxW?)
式中K是对应于限制条件方程的联系数向量为求
得极小值将其对
x取偏导并令其
s,1s
等于零,则有
?
T
V
T
C
2V
T
T
2VP
?
2Ks
PB2KsC0
x
x
转置后,得
BTPV CTKs 0
由此的附有限制条件的间接平差的基础方程
V Bx?l
Cx?Wx? 0
BTPV CTKs 0
上方程组中的个数是
n+s+u,待求未知数的个数
n个改正数,u个参数和s个联系数,
故有唯一解。
解之,得
Ks
NCC1(CNBB1W
Wx)
?
1
1T
11
W
1T
1
x
(
NBBNBBC
NCCCNBB
NBBC
NCCWx
)
(NBB
BTPB,W
BTPl,NCC
CNBB1CT)
由上式解得x之后,进而可求得
V,最后可求出参数和观测值的平差:
L?
L
V
?
0
?
X
X
x
单位权方差的估值:
2VT
PV
VTPV
?
0
r
n(us)
平差值函数的权函数式
d FTdX
式中FT
,
,,
X1
X2
Xn
平差值函数的协因数
Q FTQXXF
平差值函数的中误差
Q
其中的QXX可通过查表的
本章小结
在这一章节中,分析了经典平差的四种模型:条件平差、附有参数的条件平差。并对其的计算及公式的推到进行详细的描述。