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2019高三上12月阶段性测试-数学(理)
数学试题(理科)
注意事项:
,考试时间为
120分钟.
,必须使用
,作图时,可用
字迹工整,;在草稿纸,试题卷上答题无效.
.
一、选择题:本大题共
12小题;每小题
5分,共
,只有一
个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上.
xx
3,
N
xlog2x
1
,则M
N等于()
A.
D.
x0x2
③“
xR,x2
11
”的否定是“
xR,x2
1
1”;
④在△ABC中,“A
B”是“sinAsinB”的充要条件.
,b
R,若b
|a|
0,则以下不等式中正确的选项是
(A)a
b
0
(B)a
b
0
(C)a2
b2
0
(D)a3
b3
0
n
满足
an
3
,前n项的和为S
,关于
a,S
表达正确的选项是(
)
2n
11
n
n
n
,Sn都有最小值
,Sn都没有最小值
,Sn都有最大值
,Sn都没有最大值
,则该几何体的体积为(
)
2
D.
1
C.
3
a
b
3
ab
“
为异面直线
”
不相交;
①直线
?
的充分非必要条件是:直线
?
②“直线l
垂直于平面
所有直线”的充要条件是:l⊥平面
;
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是
“a垂直于b在平面
的射影”;
④“直线a∥平面
”的必要非充分条件是
“直线a至少平行于平面
的一条直线”.
x2y
2
0,
,y满足
x
2,
,则z
3x
4y
2的最大值为
y
1,
(A)8
(B)6
(C)5
(D)
(x)
sin2x
2cos2x
1,将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的
1,
2
纵坐标不变,再将所得图象向右平移 π个单位,得到函数yg(x)的图象,则函数yg(x)
4
的解析式为
(A)g(x)
2sinx
(B)g(x)
2cosx
(C)g(x)
2sin(4x
3π
(D)g(x)
2cos4x
4
)
(x)
ax3
bx2
cx
d图象如右图,则函数y
ax2
2bx
c的单调递增区间为
3
3
A.(
,
2]
B.[3,
)
C.[2,3]
1
,)
D.[
2
(x)
2x
1(x
0)
,
若方程f(x)
x
a有且只有两个不相等的实数
f(x
1)(x
0)
根,则实数a的取值围为
(A)(
,0]
(B)[0,1)
(C)(
,1)
(D)[0,
)
x
y
1通过点
M(cos
,sin),则(
)
11..若直线
b
a
1
1
1
1
b2≤1
b2≥1
C.
2
b
2≤1
D.
2
b
2≥1
a
a
(x)是连续的偶函数,且当x
0
时f(x)是单调函数,则满足f(x)
f(x
3)的所有
x之和为(
)
C.
8
x
4
二、填空题.(本大题共有4
个小题,每小题
4分,共16
分)
π
xax
ax
2在x1处切线的斜率为
.
sinxdx,则曲线y
0
an中,有a11
a12
L
a20
a1
a2
L
a30
,在正项
10
30
等比数列
bn
中,有_____________________成立.
F1、F2
分别是双曲线
x2
y2
1(a
0,b
0)
的左、右焦点,P为双曲线上的一
a2
b2
点,若
F1PF2
90
,且
F1PF2的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是
.
PQ
为
,A
,B
,C
PQ,
3
R为线段AC的中点,
ACP
BCP
,CACB
2,
则直线BR与平面
6
所成角的大小为________.
β
B
P CQ
R
A
α
三、 6个小题,、 证明过程或推理
步骤.
17.(本小题满分 12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sinx
3
求函数f(x)的最大值和最小正周期
.
设A,B,C为ABC的三个角,若
cosB=
1,f(C)=-
1,且C为锐角,求sinA.
3
2
4
18.(本小题满分 12分)
数a的取值围。
19.(此题满分 12分)
如图,在直三棱柱
ABCA'B'C'中,ABBC
BB'=a,ABC90
,点E、F分
别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF。
B
(I)求证:A'F
AB'。
C
A
(II)当三棱锥B'
BEF的体积取得最大值时,
求二面角BB'F
E的余弦值。
B
F
E
C
A
20.(本小题满分
12分)已知数列an满足a12a2
2n1an
n
2
(Ⅰ)求数列an
的通项;
n
,求数列bn
的前n项的和Sn。
(Ⅱ)若bn
an
f(x)
a
xlnx,
g(x)
x3
x2
3.
x
(I)当
a
2时,求曲线
y
f(x)
在
x
1处的切线方程;
(II)如果存在
x1,x2
[0,2],使得
g(x1)
g(x2)
M
成立,求满足上述条件的最大整数
M
;
(III)如果对任意的
s,t
[1,2],都有
f(s)
g(t)
成立,数
a的取值围.
2
22.(本小题满分12
分)
在直角坐标系
xOy中,椭圆C1:x2
y2
a2
b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F1,
也是抛物线C2:y2
4x的焦点,点M为C1与C2在第一象限的交点,且|
MF2|=
5.
C1的方程;
3
(Ⅰ)求
(Ⅱ)平面上的点N满足MNMF1
MF2,直线l∥MN,且与C1交于A,B两点,若
uuuruuur
,求直线l的方程.
g
0
OAOB
莱芜一中 51级高三上学期阶段性测试
理科数学参考答案
一、选择题:
xx3Ix0x2
x0x2.
:②④正确
【解析】函数
f(x)
sin2x
cos2x
2sin(2x
),将f(x)的图象上各点的
4
横坐标缩短为原来的
2倍,纵坐标不变,得到函数为
y
2sin(x
),
4
再将所得图象向右平移
π个单位得到函数
4
y
2sin[(x
)
]
2sinx
4
4
【解析】做出函数f(x)的图象如图,,由图象可知当直线为
y
x
1
时,直线与函数
f(x)只要一个交点,要使直线与函数有两个交点,则需要把直线
y
x1
向下平移,此时直线恒和函数
f(x)有两个交点,所以
a
1,选C.
x
y
1与圆x2
y2
1有交点,则
1
1
≤1,1
1
≥1
:
1
a2
b2
.
a
b
a2
b2
另解:设向量m=(cos
,sin
1
1
),由题意知
cos
sin
1
),n=(,
a
b
a
b
由mn≤mn可得1
cos
sin
≤
1
1
a
b
a2
b2
:本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足
f(x)
f(x3)时,即
x3时,得x2
x
4
x
3x3
0,此时x1
x2
(x)是连续的偶函数,∴
x
4
f(x
3),即
x
3,得x2
f(
x)
f(x),∴另一种情形是
f(
x)
x
5x3
0,
x
4
x
4
∴x3
x4
5.∴满足f(x)
f(x
3)的所有x之和为
3
(
5)
8.
二、填空题.
x
4
:a
π
cos
cos0
2,于是曲线y
x2x
2x
2,
sinxdx=cosx0
0
y
2x
x2xln2
2,∴在x
1处切线的斜率为:
k
2
2ln2
2
4
2ln2。
,容易得出
10b11b12
b20
30b1b2
b30.
15.【解析】设PF2
x
,
PF1
(
)
,则
y
x
2a,又x,y,2c为等差数列,所以
yx
y
x2c
2y,整理得
x
2c
4a
y2
4c2
整理得,5a2
6ac
c2
0,
y
2c
,代入x2
2a
解得c
5a,所以双曲线的离心率为
e
c
5
。
a
16.
4
三、解答题.
:(1)f(x)=cos(2x+
3
)+sinx.=cos2xcos
sin2xsin
3
1cos2x
1
3sin2x
3
2
2
2
所以函数f(x)的最大值为1
3,最小正周期.
2
(2)f(c)=1
3sinC=-
1
,
所以sinC
3,
因为C为锐角,
所以C
,
2
2
2
4
2
3
ABC中,
1
sinB
22,
又因为在
cosB=,
所以
所以
3
3
sinA
sin(B
C)
sinBcosC
cosBsinC
2
2
3
6
:
由x2
ax
2
0
a
2
x2
2
x在x
[1,2]上恒成立
x
x
令g(x)
2
x为[1,2]
上减函数,
g(x)max
g(1)
1
a
1
x
f(x)log1(x2
2ax
3a)是区间[1,
)上的减函数
3
令h(x)
x2
2ax
3a
a
1
1
a
1
h(1)
0
(I)证明:连AB',A'B由题设知侧面
ABB'A'为正方形
AB'
A'B
又CB
AB,CBBB',
CB
面ABB'A'
CBAB'即FB
AB'
AB'
面A'FB
AB'
A'F
(4分))
另证:建立空间直角坐标系,证明 AF?AB' 0 (略)
(II)AE
x,则BEax,
VB'BEF
1a(ax)x
6
x
a
E、F分AB与BC的中点。
(6分)
取等号,此
2
以B原点,BA x,BC y,BB'子建立空直角坐系,
B(0,0,0),A(A,0,0),C(0,a,0),B'(o,o,a),E(a,0,0),F(0,a,0)
2
2
BA平面BB'F的一个法向量,且
BA(a,0,0)
(8分)
平面EB'F的法向量n
(x,y,z)
a
az0
x
2t
n
B'E
0
x
得
2
y
t
由
a
a
n
EF
0
x
y
0
z
t
2
2
a3
,当且 当
24
n
(2,2,1)
nBA
2
cos
3
n
BA
:(Ⅰ)n
1时a1
1
2
n
a12a2
22a3
2n1an
(1)
2
a1
2a2
22a3
2n2an1
n
1
(2)
1
1
2
1
1
(1)-(2)得2
n1
an
(n
2),又a1
即an
2
n
也适合上式
an
n
2
2
2
21.(I)当
,f(x)
2
,f'(x)
2
lnx
1,f(1)
2,
a2
xlnx
x2
x
f'(1)
1,
⋯
所以,
曲y
f(x)在x1的切方程y
x3.
⋯
(II)存在x1,x2
[0,2],使得g(x1)
g(x2)
M成立,等价于:[g(x1)
g(x2)]max
M,
考察g(x)x3
x2
3,g'(x)
3x2
2x3x(x
2
),
3
0
(0,
2
2
2
2
)
3
(,2]
3
3
g'(x)
—
0
+
g(x)
3
递减
极小值
85
递增
1
27
由上表可知:g(x)min
2
)
85
,g(x)max
g(2)1,
g(
27
3
112
[g(x1)
g(x2)]max
g(x)max
g(x)min
,
M
4;
27
所以满足条件的最大整数
(III)对任意的s,t
1
,2],都有f(s)
g(t)成立,等价于:
[
2
在区间[1,2]上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,
2
由(II)知,在区间[1,2]上,g(x)的最大值为g(2)1。
2
f(1)
a1
,下证当a
1时,在区间[1
,2]上,函数f(x)
1恒成立。
1
a
2
1
当a1且x
,2]
时,f(x)
xlnx,
[
x
xlnx
2
x
记h(x)
1
xlnx,h'(x)
1
lnx
1,
h'(1)
0.
x
x2
当x[1,1),h'(x)
1
lnx
1
0;当x
(1,2],
2
x2
h'(x)
1
lnx
1
0,
x2
所以,函数h(x)
1
xlnx在区间[1,1)上递减,在区间
(1,2]上递增,
x
2
1
h(x)min
h(1)1,即h(x)
1,所以当a1且x
,2]时,f(x)
1
[
成立,
1
2
即对任意s,t
,2]
,都有
f(s)
g(t).
[
2
[1,2]时,f(x)
a
(III)另解:当x
xlnx
1
恒成立,
等价于a
x
x2lnx恒成立,
2
x
记h(x)
x
x2lnx,h'(x)
1
2xlnx
x,
h'(1)
0
.
记m(x) 1 2xlnx x,m'(x) 3 2lnx,
由于x[
1
3
2lnx0
,
,2],m'(x)
2
x在[1,2]
所以m(x)
h'(x)
1
2xlnx
上递减,
当x[1,1)时,h'(x)
2
0,x
(1,2]时,h'(x)
0,
2
x2lnx在区间[1,1)上递增,在区间
即函数h(x)
x
(1,2]
上递减,
2
所以,h(x)max
h(1)
1,所以a
1.
22.
解:(Ⅰ)由C2:y2
4x知F2(1,0).
设M(x1,y1),M在C2上,因为MF2
5
,所以x1
1
5
,得x1
2
,y1
26.
3
3
3
3
M在C1上,且椭圆C1的半焦距c
1,于是
4
8
,
9a2
3b2
1
b2
a2
1.
消去b2并整理得
9a4
37a2
4
0,解得a
2(a
1
不合题意,舍去).
3
故椭圆C1的方程为x2
y2
1.
4
3
uuuur
uuuur
uuuur
O,
(Ⅱ)由MF
MF
2
MN知四边形MF1NF2
是平行四边形,其中心为坐标原点
1
因为l∥MN,所以与OM的斜率相同,
2
6
故的斜率k
3
6
.设的方程为y
6(x
m).
2
3
3x2
4y2
12,
9x2
16mx
8m2
40.
由
6(x
消去y并化简得
y
m),
设A(x1,y1),B(x2,y2),x
x
2
16m
,
x1x2
8m2
4.
1
9
9
uuur
uuur
y1y2
0.
因为OA
OB,所以x1x2
x1x2y1y2
x1x2
6(x1
m)(x2
m)
7x1x2
6m(x1
x2)
6m2
8m2
4
16m
6m
2
1
2
0
.
7g
6mg
9
(14m28)
9
9
所以m
(16m)2
49(8m2
4)
0,
故所求直线的方程为y
6x
2
3,或y
6x
23.
(x)=cos(2x+
)+sinx.=cos2xcos
sin2xsin
3
1
cos2x
1
3sin2x
3
3
2
2
2
所以函数f(x)的最大值为1
3,最小正周期
2
(2)f(c)=1
3sinC=-
1
,
所以sinC
3,
因为C为锐角,
所以C,
2
2
2
4
2
3
又因为在
ABC中,
cosB=
1
,
所以sinB
2
3,
所以
3
3
sinAsin(B
C)
sinBcosC
cosBsinC
2
3
1
1
3
3.
3
2
3
2
2
(I)证明:连 AB',A'B由题设知侧面 ABB'A'为正方形 AB' A'B
又CB AB,CB BB', CB 面ABB'A' CB AB'即FB AB'