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设空间曲线的方程
(1)式中的三个函数均可导.
1曲面方程为参数式
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考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以
割线的方程为
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曲线在M处的切线方程
切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.
法平面:过M点且与切线垂直的平面.
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空间曲线方程为
法平面方程为
2曲面方程为一般式
切向量
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解
例2
在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.
求曲线
将所给方程的两边对x求导并移项,得
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设曲面方程为
在曲面上任取一条通过点M的曲线

上任何一条过点M0的曲线在点M0处的切线都在同一平面上,则称这个平面是曲面在点M0处的切平面.
设M0(x0,y0,z0)是曲面
上一点,如果曲
面

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则
由于曲线是曲面上通过
的任意一
条曲线,
它们在
的切线都与同一向量
垂直,
故曲面上通过
的一切曲线在点
的切线都在
同一平面上,
这个平面就是曲面在点
的切平面.
切平面方程为
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切平面上点的竖坐标的增量
因为曲面在M处的切平面方程为
z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分,表示曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量.
全微分的几何意义
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其中
若
表示曲面的法向量的方向角,
并假定法向量的方向是向上的,
即使得它与z轴
的正向所成的角是锐角,
则法向量的方向余弦为
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