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1、已知an
n
(n
N
),则数列
an
的最大项是
n
2156
2、在等差数列{an}中,若a4
a6
a10
a12
90,则a10
1a14
3
3
、已知等比数列
an
,若
1
5
4
,则a3的值为
a
1,a
4、数列{an}中,a3
2,a5
1,则数列{
1
}是等差数列,则a11
an
1
5、在数列{an}和{bn}中,bn是an与an1的等差中项,a1
2
且对任意n
N都有
3an1
an
0,则数列{bn}的通项公式为
___
_______
6、设等差数列
an的公差d不为0,a1
9d,ak
是a1与a2k的等比中项,则
k
7、等差数列{an}的前n项和为Sn,若S410,S5
15,则a4的最大值为
8、正数数列{an}中,已知a1
2,且对任意的
s,t
N
,都有as
at
as
t成立,则
1
1
L
1
a1a2
a2a3
anan1
9、等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a2
8,a3
a5
26,记Tn
Sn
,如果存在正
整数M,使得对一切正整数
n,Tn
n2

10、已知无穷等比数列
{an}中,各项的和为S,且lim[3(a1
a2
L
an)
S]4,则实
n
数a1的围
11、设正数数列{an}的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对于所有自然数
n,有
tSn
an
t
Sn
t,则实数t的取值围为
2
成立,若lim
an
n
2n
1
(1
n
2)
,则limSn
12、数列{an}的通项公式为
an
1
n
(
(n
3,n
N
)
n
)
3
13、已知数列{an}的通项公式为an
2n
11,则a1Cn0
a2Cn1
a3Cn2L
an1Cnn
2an
(0
an
1)
6
14、数列{an}满足an1
2
,若a1
,则a2007的值为____
1
7
2an
1
(
an
1)
2
15、在数列{an}中,如果对任意
n
N
都有
an2
an1
k(k为常数)
,则称{an}为等
an
1an
差比数列, k称为公差比 .现给出下列命题:
⑴等差比数列的公差比一定不为
0;
⑵等差数列一定是等差比数列;
⑶若an
3n
2,则数列{an}是等差比数列;
⑷若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比
.
其中正确的命题的序号为
二、选择题
16、等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时a2
a8a11是一
个定值,则下列各数中也为定值的是
(
)

17、在等差数列
{an}中,a10,5a5
17a10,则数列{an}前n项和Sn取最大值时,n
的值为(
)

a11
18、设{an}为等差数列,若 1,且它的前 n项和Sn有最小值,那么当 Sn取得最小正值时, n
a10
( )

19、等差数列
{an}的前n项和为Sn,且S5
S6,S6
S7
S8,则下列结论中错误的是(
)
A.
d
0
B.
a7
0
C.
S9
S5
D.
S6和S7均为Sn的最大值
20、已知数列
、
都是公差为
的等差数列,其首项分别为a1、b1,且a1
b15,1
1
N
*
.设
{an}{bn}
1
a
,b
cn
abn
(n
N*),则数列{cn}的前10项和等于(
)

21
、已知等差数列{
}
n
uuur
uuur
uuur
A,B,C三点共线
an
的前
项和为
Sn,若OB
+
a200OC
a1OA
,且
=
(该直线不过原点
O),则S200=(
)

22、已知两个等差数列
{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且An
7n
45,则使
Bn
n
3
得an
为整数的正整数
n的个数是(
)
bn
A.
2

C.
4

三、解答题
23、设数列

an

的前

n项和为

Sn,已知

a1

a,an1

Sn

3n,n

N*

.
(1)设bn

Sn

3n

,求

bn

的通项公式;
(2)若an1 an,n N*,求a的取值围.
24、数列an
满足a1a,a2
a(a0),且an从第二项起是公差为
6的等差数
列,
an
1
n2
时,用a与n表示
an
Sn
2
S6
Sn
是
与
与
的前n项和.()当
;()若在
S7两项中至少有一项是
Sn的最小值,试求
a的取值围;
25、数列{an}中,a1
1
an)在直线yx上,其中n
N;
,点(n,2an1
2
(1)设bn
an1
an
1,求证:数列b
是等比数列;
n
(2)求数列
an
的通项;
(3)设Sn、Tn分别为数列
an、bn
的前n项和,是否存在实数
,使得数列
Sn
Tn
为等差数列?若存在,试求出
;若不存在,则说明理由。
n
26、已知数列{an}的前n项和为Sn,p为非零常数,满足条件:
①a11;②Sn
4anSn1
pan1
(n2);③limSn
3
2
n
1)求证:数列{an}是等比数列;
2)求{an}的通项公式;
n
(3)若cn t[n(lg3 lgt) lgan1](t

0),且数列

{cn}

中的每一项总小于它后面
的项,

数t

的取值围

.
27、已知数列
⑴求数列
⑵若bn
⑶若cn

an
a2
a3
an
6n
9,(r0)(n
1,nN)。
满足a1
r2
LL
n
1
r
r
an
的通项公式;
(3n
3
,求bn
2)an,且r
的最大值;
an|sinn|(n
4
,求limT2n
1,n
N),记Tn
c1
c2c3
cn
。
2
n
T2n
1
28、在xOy平面上有一系列点
P1x1,y1
,P2x2,y2
,L,Pn
xn,yn,L
,对每个自然数n,点Pn位于函数
yx2
x
,,
且xn1
xn
n
N.
(1)求证:数列
1
是等差数列;
xn
(2)记Sn为数列
1
的前n项和,试判断方程:
sin2
1
1sin
1
1Sn是否有解?
xn
xn
xn
xn
说明理由。
(3)设bn
(
1)n1
1
,数列b
的前n项和为Sn,求Sn。
xnxn1
n
29、函数f
x
是这样定义的:对于实数
x,如果存在整数
m,使得xm
1
,那么就有
2
fx
m。
(1)求函数
f
x
的定义域D,并画出它在xDI3,3
上的图象;
2
n
(2)已知数列an
2
10
,求fa1
fa2f
a3
L
f
an
;
5
(3)已知等比数列
an
的首项是a1
1,公比为q,又f
a1
f
a2
f
a34,求公比q
的取值围。
数列、数列极限、数学归纳法综合复****br/>一、填空题
1、已知an
n
(n
N
),则数列
an
的最大项是
1
2
25
n
156
2、在等差数列{an}中,若a4
a6
a10
a12
90,则a10
1a14
15
a
1,a
4
3
3、已知等比数列
a
n
,则
a3的值为
2
,若
1
5
4、数列{an}中,a3
2,a5
1,则数列{
1
}
是等差数列,则a11
0
an
1
5、在数列{an}和{bn}中,bn是an与an1的等差中项,a1
2且对任意n
N
都有
3an1
an
0,则数列{bn}的通项公式为
___
b
4(1)n_______
n
3
6、设等差数列
an的公差d不为0,a1
9d
,ak是a1与a2k的等比中项,则
k
4
7、等差数列{an}的前n项和为Sn,若S410,S5
15,则a4的最大值为
4
8、正数数列{an}中,已知a12,且对任意的s,t
N
,都有as
at
as
t成立,则
1
1
L
1
n
a1a2
a2a3
=
4(n
1)
anan1
9、等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4a28,a3a5
26,记T
Sn
,如果存在正
n
n2
整数M,使得对一切正整数
n,T

M
的最小值是____
2
____
n
10、已知无穷等比数列
{an}中,各项的和为S,且lim[3(a1
a2
L
an)
S]
4,则实
n
数a1的围
(0,2)U(2,4)
11、设正数数列
{an}的前n项和为Sn,且存在正数t,使得对于所有自然数
n,有
tS
an
t
Sn
3
2
)
成立,若lim
t,则实数t的取值围为(
,
n
2
n
an
2
12、数列{an}的通项公式为an
2n
1
(1n
2)
,则limSn
55
1
n
18
(
(n
3,n
N
)
n
)
3
13、已知数列{an}的通项公式为an
2n
11
,则a1Cn0
a2Cn1
a3Cn2L
an
1Cnn
2n
3n
2an
(0
an
1)
6
3
14、数列{an}满足an1
2
,若a1
,则a2007的值为__
1
7
__
2an
1
an
1)
7
(
2
15、在数列{an}中,如果对任意
n
N
an
2
an1
k(k为常数)
,则称{an}为等
都有
an
an1
差比数列,
k称为公差比.
现给出下列命题:
⑴等差比数列的公差比一定不为
0;
⑵等差数列一定是等差比数列;
⑶若an 3n 2,则数列{an}是等差比数列;
⑷若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比 .
其中正确的命题的序号为
(1)(3)(4)
二、选择题
16、等差数列{an}的公差为d,前n
项的和为Sn,当首项a1和d变化时a2
a8a11是一
个定值,则下列各数中也为定值的是
(
C)

17、在等差数列
{an}中,a10,5a5
17a10,则数列{an}前n项和Sn取最大值时,n
的值为(
A)

a11
18、设{an}为等差数列,若 1,且它的前 n项和Sn有最小值,那么当 Sn取得最小正值时, n
a10
(
D
)

19、等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5
S6,S6
S7S8,则下列结论中错误的是(
C)
A.
d
0
B.
a7
0
C.
S9
S5
D.
S6和S7均为Sn的最大值
20、已知数列{an}
、{bn}都是公差为1的等差数列,其首项分别为
a1、b1,且a1
b15,a1,b1N*.设
cn
abn(n
N*),则数列{cn}的前10项和等于(
C
)

21、已知等差数列{
}的前n项和为
uuur
uuur
uuur
A,B,C三点共线
an
Sn
,若
=
+
a200OC
,且
OB
a1OA
(该直线不过原点
O),则S200=(
A
)

C.
200

22、已知两个等差数列
{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且
An
7n
45
,则使
Bn
n
3
得an
为整数的正整数n的个数是(
D
)
bn
A.
2

C.
4
D.
5
三、解答题
23、设数列
an的前n项和为
Sn,已知a1
a,an1
Sn
3n,n
N*.
(1)设bn
Sn
3n,求bn
的通项公式;
(2)若an1
an,n
N*,求a的取值围.
解:(1)依题意,Sn1
Sn
an1Sn
3n,即Sn1
2Sn
3n,
由此得Sn1
3n1
2(Sn
3n).
因此,所求通项公式为
bnSn3n
(a3)2n1,nN*.①
(2)由①知Sn
3n
(a3)2n1,n
N*,
于是,当n
2时,an
Sn
Sn13n
(a
3)2n1
3n1
(a3)
2n2
2
3n
1
(a
3)2n2,
2n212g3
n2
an1
an
43n1
(a3)2n2
a3,
2
当n
2
时,
3
n2
a
a
n
12
a
30
n1
g
2
a
5.
又a2
a1
3
a1.
综上,所求的a的取值围是
5,
.
24、数列
an
满足a1
a,a2
a(a0
),且
an从第二项起是公差为
6的等差数
列,
Sn
是
an
的前n
1
n2
时,用
a与n表示
an
与
Sn
2
S6
与
项和.()当
;()若在
S7两项中至少有一项是
Sn的最小值,试求
a的取值围;
解:(1)由已知,当n
2时,an
a
6(n
2),即an6n
(a
12)
Sn
a1
a2
L
an
a(n1)(a)
(n1)(n2)6
3n2
2
(a
9)n
2a
6
Sn
3n2
(a9)n2a6(nN)
(2)解法一:由已知,当
n2
时,an是等差数列,公差为
6,数列an
递增.
若S6
a6
0
24
a
0
是Sn的最小值,则
,即
30
a
,得
a7
0
0
若S7
a7
0
30
a
0
是Sn的最小值,则
,即
36
a
,得
a8
0
0

24 a 30
30 a 36
∴当S6与S7两项中至少有一项是 Sn的最小值时, a的取值围是[24,36]
(2)解法二:∵在S6与S7
两项中至少有一项是
Sn的最小值,
∴
a
9

6
解得24
a
36,从而a的取值围是[24,36]
.
25、数列{an}中,a1
1
(n,2an1an)在直线yx上,其中n
N;
,点
2
(1)设bn
an1
an
1,求证:数列bn是等比数列;
(2)求数列
an
的通项;
(3)设Sn、Tn分别为数列
an、bn的前n项和,是否存在实数
,使得数列
Sn
Tn
为等差数列?若存在,试求出
;若不存在,则说明理由。
n