数列综合测试题与答案.docx

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1.{an}是首a1=1,公差d=3的等差数列,如果
an=2005,序号n等于(
)
.





{an}中,首
a1=3,前三和
21,a3+a4+a5=(
)
.



D.

,
2,⋯,
a
8各都大于零的等差数列,公差
≠0,()
.
a
a
d
>aa
5
<aa
5
+a<a+=aa
1
8
4
1
8
4
1
8
4
5
1
8
4
5
(
x
2-2+)(
2-2+)=0
的四个根成一个首
1的等差数列,|
-|等于(
)
.
x
m
x
x
n
4
mn

B.
3
C.
1
D.
3
4
2
8
{
a
n}中,
a
2=9,
5=243,{n}的前4和(
).
a
a

B
.120
C
.168
D
.192
{
n}是等差数列,首
1
>0,
2003+
2004>0,2003·2004
<0,使前
n
和
n>0
成立的最大
a
a
a
a
a
a
S
自然数n是(
)
.




{a}的公差
2,若a,a,a
成等比数列,
a=()
.
n
1
3
4
2
A.-4
B.-6
C.-8
D.-10
8.
n是等差数列{
a
n}的前
n
和,若a5
=5,S9
=(
)
.
S
a3
9
S5

B.-1


2
-1,a1,a2,-4成等差数列,-
1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
a2
a1的是(
)
.
b2

B.-1
C.-1或1

2
2
2
2
4
{a}中,a≠0,a
-1-
2
=38,n=(
an
+
n+1
2n-1
)
.
n
n
n




二、填空
(x)=
1
,利用本中推等差数列前
n和公式的方法,可求得
f(-5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+
x
2
2
f(5)+f(6)
的
.
{an}中,
(1)
若a
·a·a=8,a·a·a·a·a=
.
3
4
5
2
3
4
5
6
(2)
若1
+2
=324,3+4=36,
a
5+
a
6=
.
a
a
a
a
(3)
若4
=2,8=6,
17+
18+
19+20=
.
S
S
aa
a
a
,使五个数成等比数列,插入的三个数的乘
.
3
2
{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,此数列前13
之和.
{a
}中,a=3,a=-2,a+a+⋯+a=
.
n
5
6
4
5
10
(n≥3),其中有且有两条直互相平行,
f(n)表示n
条直交点的个数,
f
(4)=
;当
>4,
f
(
)=
.
n
n
三、解答
17.(1)已知数列{an}的前n和Sn=3n2-2n,求数列{an}成等差数列.
(2)已知1,1
,1成等差数列,求
bc,c
a,a
c
b也成等差数列.
ab
c
a
b
18.{an}是公比 q 的等比数列,且 a1,a3,a2成等差数列.
求q的;
{bn}是以2首,q公差的等差数列,其前n和Sn,当n≥2,比Sn与bn的大小,并明理由.
{an}的前

n和

Sn,已知

a1=1,an+1=

n

2Sn(n=1,2,3⋯).
n
求:数列

{

Sn

}是等比数列.
n
{
a
n}是首项为
a
且公比不等于
1的等比数列,
n为其前
n
项和,
a
1,27,34成等差数列,求证:
123,
S
aa
S
S6,S12-S6成等比数列.
高一数学数列综合测试题参考答案
一、选择题

解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即2005=1+3(n-1),∴n=699.

解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.
设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21,
即a1(1+q+q2)=21,又a1=3,∴1+q+q2=7.
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去 ),
∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84.
.
解析:由a1+a8=a4+a5,∴排除C.
2
又a1·a8=a1(a1+7d)=a1+7a1d,
∴a·a=(a+3d)(a
2
2
+4d)=a
+7ad+12d>a·a.
4
5
1
1
1
1
1
8

解析:
解法1:设a=
1
,a
=
1
+d,a=
1
+2d,a=
1
+3d,而方程
2
中两根之和为
2
中
x-2x+m=0
2,x-2x+n=0
1
4
2
4
3
4
4
4
两根之和也为
2,
∴1+
2
+3+
4=1+6=4,
a
a
a
a
d
∴d=
1,a1=1,a4=7是一个方程的两个根,
a1=3,a3=5是另一个方程的两个根.
2
4
4
4
4
7,15分别为m或n,
1616
∴|m-n|=1
,故选C.
2
解法2:设方程的四个根为
x1,x2,x3,x4,且x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n.
由等差数列的性质:若
+
=
+,则
+
s=
p+
q,若设
x
1为第一项,
x
2必为第四项,则
x
2=7
,于是可得等
s
p
qa
a
a
a
4
差数列为1
,3
,5
,7,
4
4
4
4
m=7,n=15,
1616
∴|m-n|=1.
2

解析:∵a2=9,a5=243,a5=q3=243=27,
a2 9
∴q=3,a1q=9,a1=3,
5
∴S4=3-3 =240=120.
1-3 2

解析:
解法1:由a
2003
+a
>0,a
2003
·a
<0,知a
2003
和a
两项中有一正数一负数,又
a>0,则公差为负数,否则
2004
2004
2004
1
各项总为正数,故
2003
>
2004,即2003
>0,
2004<0.
a
a
a
a
4006(a1+a
)
4006(a
+a)
>0,
∴S4006=
2
4
006=
2003
2004
2
S4007=4007·(a1+a4007)=4007·2a2004<0,
2 2
故4006为Sn>0的最大自然数. 选B.
解法2:由a>0,a+a
>0,a
·a
2004
<0,同解
法1的分析得a>0,a
1
2003
2004
2003
2003
2004
<0,
2003
n
∴S
为S中的最大值.
∵Sn是关于n的二次函数,如草图所示,
∴2003到对称轴的距离比
2004
到对称轴的距离小,
∴4007在对称轴的右侧.
(第6题)
2
根据已知条件及图象的对称性可得
4006在图象中右侧
零点B的左侧,4007,4008
都在其右侧,Sn>0的最大自然数是4006.

解析:∵{an}是等差数列,∴ a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列,
(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,
a2=-8+2=-6.

9(a1
a9)
9a
=9·
5=1,∴选A.
9
=
2=
解析:∵S
5
S5
5(a1
a5)
5a3
5
9
2

解析:设
d
和
q
分别为公差和公比,则-
4=-1+3
且-4=(-1)
q
4,
d
∴d=-1,q2=2,
∴a2a1=
d
=1.
b2
q2
2

解析:∵{an}为等差数列,∴
2
n-1
n+1
2
n
an
=a
+a,∴an
=2a,
又an≠0,∴an=2,{an}为常数数列,
而an=S2n1
,即2n-1=38=19,
2n
1
2
∴n=10.
二、填空
.
解析:∵f(x)=
1
,
2
2x
1
2
x
12x
∴f(1-x)=
2=
=
2
,
21x
2
22x
22x
1
x
1
1
x
1
(2
x
∴f(x)+f(1-x)=
1
2
2
2
2
2
2)
2
x+
x
=
x
=
x=
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S=f(-5)+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6),S=f(6)+f(5)+⋯+f(0)+⋯+f(-4)+f(-5),
∴2S=[f(6)
+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+⋯+[f(-5)+f(6)]
=6
2,
∴S=f(-5)
+f(-4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)=32.
12.(1)32;(2)4;(3)32.
解析:(1)由a3·a5=a42,得a4=2,
∴a2·a3·a4·a5·a6=a45=32.
a1
a2324
q2
1,
(2)
a2)q2
(a1
36
9
a5+a6=(a1+a2)q4=4.
S4=a1+a2+a3+a4=2
q4=2,
(3)
S8=a1+a2++a8=S4+S4q4
∴17+
18+
19+20=416=32.
aa
a
aSq
.
解析:本考等比数列的性及算,由插入三个数后成等比数列,因而中数必与
中数
8
27=6,
插入的三个数之
8×27×6=216.
3
2
3
2
.
解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
6(a4+a10)=24,a4+a10=4,
∴S
13(a1+a13)
13(a4+a10)
=
13
4
=26
.
=
=
13
2
2
2
15.-49.

,27同号,由等比中的
2
解析:∵d=a6-a5=-5,
a4+a5+⋯+a10
7(a4+a10)
2
7(a5-d+a5+5d)
2
7(a5+2d)
=-49.
1
, (n+1)(n-2).
解析:同一平面两条直若不平行一定相交, 故每增加一条直一定与前面已有的每条直都相交, ∴f(k)=f(k
1)+(k-1).由f(3)=2,
f(4)=f(3)+3=2+3=5,
(5)=f(4)+4=2+3+4=9,
⋯⋯
(n)=f(n-1)+(n-1),
相加得
f
(
n
)=2+3+4+⋯+(
-1)=1
(
+1)(
n
-2).
n
n
2
三、解答
:判定定数列是否等差数列关看是否足从第
2开始每与其前一差常数.
明:(1)n=1,a1=S1=3-2=1,
当n≥2,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
n=1,亦足,∴ an=6n-5(n∈N*).
首a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*),
∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差6.
1 1 1
(2)∵ , , 成等差数列,
2=1+1化得2ac=b(a+c).bac
b+c+a+b
bc+c2+a2+ab
(+
)+
2+
2
(a+c)2
(a+c)2
=2·a+c,
=
ac
=bac
ac
a
c
=
=
(
+)
a
c
ac
ba
c
b
2
b+c,c+a,a+b也成等差数列.
abc
:(1)由 2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,
a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或-1.
2
2
(2)若q=1,则Sn=2n+n(n-1)=n+3n.
2 2
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=(n-1)(n+2)>0,故Sn>
若q=-
1
,则S=2n+
n(n-1)
(-
1
)=
-n2+9n
.
2
n
2
2
4
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=(n-1)(10-n),4
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Sn<bn.
:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2Sn,
n
∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1)Sn,
所以 Sn+1=2Sn.
n+1 n
故{Sn}
:由a,2a,3a
成等差数列,得
4a=a
6
3
+3a,即4aq=a+3aq,
1
7
4
7
1
4
1
1
1
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,
q3=-14

或q3=1(舍).
由S6=
12S3

a1(1 q6)
q
12a1(1q3)
q

=1
q3
=1;
12
16
a1(1
q12)
S12
S6=S12
-1=
1q
-1=1+q6-1=1;
S6
S6
a1(1q6)
16
q
12S3,S6,S12-S6成等比数列.

得S6=S12S6.
12S3S6