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数学(4)互动式教学讲义{教用} 矩阵的应用.docx

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矩阵的应用
主题1 二阶方阵的乘法反方阵
n阶方阵的乘法反方阵:
设A是一个n阶方阵,若存在一个n阶方阵B,满足AB=BA=In,则称B为A的乘法反方阵,我们用符号
A-1表示
-1
-1
=
n。
A的乘法反方阵,亦即
AA
=A
A
I
注:(1)并不是任意方阵都有乘法反方阵。
(2)若A有乘法反方阵,则此反方阵只有一个。
(3)当A、B都是n阶方阵,若AB=In,则BA=In。
二阶乘法反方阵存在的判别法:
b
设A=为二阶方阵,定义其行列式detA=ad-bc。
d
若detA=ad-bc≠0,则乘法反方阵A-1必存在;反之,若A-1存在,则detA≠0。
乘法反方阵的求法:
(1)利用矩阵的列运算:列出矩阵〔A│I2〕。
将上述矩阵作列运算,直到化成〔I2│B〕的形式。此时,方阵B即为A的乘法反方阵
(2)公式法:
若二阶方阵
A
=a
b
的行列式detA≠0,则A有乘法反方阵A-1,且
c
d
-1
=
1
d
-b
=
1
d
-b
A
ad-bc
-c
a
detA
-c

a
说明:对于一般的二阶方阵
a
b
A=
,当detA=ad-bc≠0时,a与c至少有一个不为0,不妨设a≠0,利用列
c
d
运算,可得
ab1
0
1
1
b
1
0
1
b
1
0
a
a
×
a
a
×(-c)→
a→
-
cd0
1
c
d0
1
0
adbc-c
1

×

a
a
a
1
b
1
0
a
a
×-b

a
0
1
-c
a
-
-
bc
adbc
ad
1
0
d
-b
ad-bcad-bc
0
1
-c
a
-
-
bc
adbcad
-1
=
1
d
-b
1
d
-b
故得A
ad-bc
-c
=
detA
-c

a
a
当a=0且c≠0时,利用列运算所得的A-1也与上式相同。范例1反方阵存在的条件
已知方阵A=4 x没有反方阵,则x= 。
6
解∵A没有反方阵∴detA=0
4 x=0 24-3x=0 x=8

ad-bc
3 6
高中数学交互式教学讲义 {教用} 矩 阵 矩阵的应用
-
-
-1
类题
a3
1
不存在,则a=
1或4。
设A=
-
,若A
-
2
a2
解 ∵A-1不存在 ∴detA=0
a-3 -1
=0 (a-3)(a-2)-2=0
-2 a-2
a2-5a+6-2=0 a2-5a+4=0
a-1)(a-4)=0a=1或4
范例2
求反方阵
搭配课本例题4
7
-
-1
a
b
10
且A
=

若方阵A=
-
,则序组(a,b,c,d)=
2
c
d
3
-
1
解∵AA
=I
7
-
a
b
1
0

10
-
=
2
c
d
0
1
3
-
-
1
0
7a
10c
7b
10d
=
-
-
0
1
2a
3c
2b
3d
7a-10c=1
2a-3c=0,解之得a=3,b=-10,c=2,d=-7
7b-10d=0
2b-3d=1
故序组(a,b,c,d)=(3,-10,2,-7)
7 -10
〔另解〕∵detA= =-1
-3
A-1=1-310=3-10
-
-
-1272
7
故序组(a,b,c,d)=(3
,-10,2,-7)
2
5
3
-5
类题1
已知矩阵
,则矩阵A
-1
=
3

A=
9
2
3
-
1
3

2
5
∵detA=
3
=18-15=3
9
-11
9
-
3-5
∴A
5
=
3
=
-32
2
3
-1
3
1
-
2
1
-1
5
5
类题2
1
=

已知A=
,试利用矩阵的列运算,试求
A
-3
3
2
1
5 5
高中数学交互式教学讲义 {教用} 矩 阵 矩阵的应用

1
-
0
×(-3)→1
-
1
0
11
1
×1
3
2
0
1
0
5
-
1
3
5
1
-
1
0
1
0
2
1
1
5
5

×1

1-3
0
1
-3
1
0
1
5
5
5
5
1
故A-1=55
31
55
范例3
方程式求解
搭配课本例题5
+
=
(1)将
x
2y
1
+
=
写成AX=B的形式。
3x
7y
2
(2)承(1),试求矩阵X=


1
2
x
=1
(1)原方程组可写成
3
7
y
2
令A=
1
2,X=x
,B=
1即为所求
3
7
y
2
(2)∵detA=
1
2
=1≠0,故A-1
存在
3
7
-
1
7
-2
7
-2
∴A1=
-
1
=
-
3
1
1
3
-1
7
-2
1
3
故X=A
B=
-
1
2
=
-
3
-
3
1
类题1
设A=
2
7
,若AX=B,则:
4
5
,B=
-
6
5
2
1
(1)A的反方阵
A
-1
=
23
23

(2)矩阵X=

-4
3
-2
23
23

3
5
2
5
2

=
-
=15-(-8)=23
∴A-1=1
=23
23
(1)
2
detA
4
5
23
-4
3
-4
3
23
23
5
2
7
1
-1
-1
-1
23
23
=
(2)∵AX=B
∴A
AX=A
B
X=A
B=-4
3
-
6
-
2
23
23
类题2
a
-2
x
1
无解,则a=
1或2
若方程组
1
-
y
=-

a
3
3
高中数学交互式教学讲义
{教用}


矩阵的应用

∵方程组无解
∴a
-
2之行列式值为0
1
-
a3
-2
=0 a(a-3)+2=0
1 a-3
a2-3a+2=0 (a-1)(a-2)=0 a=1或2
范例4
反方阵的应用(一)
已知矩阵A为二阶方阵,且A
2=
2,A
1=
1,则矩阵A=

5
3
2
3

2=
2且A
1
=1
∵A
5
3
2
3
∴A
2
1
=
2
1
5
2
3
3
2
1
2
1
-1
A=
3
3
5
2
-1
2
-
-
1
又2
1
=1
=
1
2
5
2
-1
-
2
5
-
5
2
2
1
-
1
1
0
故A=
2
-
=
-
3
3
5
2
9
3
类题1
设二阶方阵A满足A
7
=11
,A
5=7
,若A=11
7
a
b,则序组(a,b,c,d)
4
3
3
2
3
2
c
d
=(3,-5,-4,7)。

7=11且A
5=7
75=11
7
A=11
7
75
-1
∵A
A
,
4
3
3
2
4
3
3
2
3
2
4
3
又75
-1
3
-
5=
3
-
∴A=117
3
-
=1
5
5
43
1
-47
-4
7
32
-47
即序组(a,b,c,d)=(3,-5,-4,7)
0
1
1
-
-
1
1
类题2
设A2=
,A3=
2
3
2
,则A=
1

-
-
-2
1
5

∵=A3
3
2
-1
∴A=A.(A)
2
-1
3
-
1
又(A)=
0
1
1
-
3
-
1
-
2
1
1
A=
-
1
=
1
-
2
2
5
0
范例5 反方阵的应用(二)
高中数学交互式教学讲义 {教用} 矩 阵 矩阵的应用
A=
2
0
-2
-4
-1
10

0
1
,P=
2
2
,若B=PAP
,B=

2
4
1
1
-1
1
2
P
=
4
-
-
=
-1
-1
2
2
2
2
B10=(PAP-1)10=(PAP-1)(PAP-1)(PAP-1)⋯⋯(PAP-1)=PA10P-1

2
10
0
1
1
2048
1
1
-
-
2
-
-
2
=
4
2
=
4
2
0
1
-1
-1
2
-1
-1
2
2048
2
2
2
2
-
-
1022
2046
=
2047
1023
A=
-
2,P=1
2,:
1
-
4
1
3
3
-1
1
0

(1)PAP=
0
2
(2)P-1A10P=
1
0

0
1024
(3)A10=
-2045
2046

30693070

=
1
2
且detP=
1
2
=1
P-1=
3
-2
P
1
3
1
3
-
1
1
-
1
3
-
-
2
1
2
1
0
(1)P
2
1
AP=-
1
-
4
1
=
0
2
1
3
3
(2)令P
-1
1
0
AP=D=
2
0
D10=(P-1AP)10=(P-1AP)(P-1AP)⋯⋯(P-1AP)=P-1A10P

故P
-
1
10
10
110
0
1
0
AP=D
=
0
210
=
1024
0
-1
10
1
0
(3)∵P
AP=
0
1024
10
1
0
-1
1
2
1
0
3
-
1
2048
3
-
2
2
∴A
=P
1024
P
=
3
0
1024
-
1
=
3072
-
1
0
1
1
1
1
-
2046
=
2045
-3069
3070
主2 移矩 ~
移矩的定:
正整数n2,n方A=〔aij〕n×n,若足
(1)0 aij 1,1 i n,1 j n(即每一元都介于 0,1之(含)),
(2)a1j+a2j+⋯⋯+anj=1,1 j n(即每一行各元的和皆 1),
高中数学交互式教学讲义

{教用}

矩 阵

矩阵的应用
则称A是一个n阶的转移矩阵。
换句话说,若方阵 A有以下的特征:
(1)每一个元都介于0与1之间(含)。
(2)每一行的各元之和等于 1。
则称此方阵为转移矩阵。
机率矢量:
对于n×1阶的行矩阵,若各元皆为介于0,1之间的实数且各元之和为1时,我们称之为机率矢量。
3 7
例如X0=
4
,X1=
10
都是机率矢量。
1
3
4
10
马可夫定理:
设A是一个n阶转移矩阵,且A或A的某一次方之所有元都是正实数,则对于任意一个
n×1阶的机率矢量X0,当k
逐渐增大时,Xk=Ak
0会逐渐趋近唯一的n×1阶矩阵X,而且这个矩阵X满足
X
(1)AX=X。
(2)X中各元的和为1(即X也是机率矢量)。
特别地,我们将X称为稳定状态时的矩阵。
范例6
转移矩阵
搭配课本例题1
某一地区的开车人口中,目前开小型车的人口有
15万人,开中大型车的人口有10万人。每隔5年,开小型车的人有
20%会转开中大型车,其余照开小型车;而开中大型车的人有
40%会转开小型车,其余照开中大型车。试求:
(1)经过5年后,这地区开车人口的分布状态。
(2)经过10年后,这地区开车人口的分布状态。


中大
转移矩阵A=



15



,X0=
中大
10
中大
1=AX0=

15=16

(1)X


10
9
中大
即5年后,开小型车的有
16万人,开中大型车的有
9万人
2=AX1=

16
=

(2)X


9

中大
类题
某地有两家报纸,市场调查显示:今年订阅甲报者有
20%明年转而订阅乙报(其余仍订阅甲报),今年订阅乙
报者有
40%明年转而订阅甲报(其余仍订阅乙报)。若第一年甲、乙两家报纸的市场占有率分别为
50%、50%,
则第3年甲家报纸的市场占有率为
64%。



转移矩阵A=



,X1=






2=AX1=


=


X





3=AX2=


=


X





故第3年甲家报纸的市场占有率为
64%
范例7 稳定矩阵
2000年某地区手机用户总数是 6000人,只有

搭配课本例题1、2
A,B两家电信公司的门号可供选择。每年 A电信公司的用户有 20%改用
B电信公司的门号,B电信公司的用户有 40%改用A电信公司的门号。假设每个用户只使用一个门号 ,经过一年后,A,