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直线与圆
2-1直线方程式及其图形
~
:
设直线L在坐标系中不是铅垂线,在此直线上任取相异两点
P(x1﹐y1),Q(x2﹐y2),
则此直线L之斜率m=
y2-y1
=
y的變化量
x2-x1
。(x1≠x2)
x的變化量
注:(1)当L是铅垂线时,会有x
=x,故上式的分母为
0,所以
1
2
不规定铅垂线的斜率。
(2)设直线L的斜率为m,且与x轴正向所夹的有向角为 θ
(0°≦θ<180°,θ≠90°),则m=tanθ。
斜率的变化:
(1)水平线的斜率为0。
(2)直线由左下往右上倾斜时,斜率为正。
(3)直线由左上往右下倾斜时,斜率为负。
(4)直线愈接近铅垂线,则其斜率的绝对值也越大。
三点共线:
(1)若A,B,C三点共线,则mAB=mAC。
(2)斜率分别为m1与m2的两直线,若两直线互相平行,则m1=m2。
范例1斜率
搭配课本例题1
试计算下列两点联机的斜率:
(1)A(-1﹐2),B(-3﹐-5)。
(2)C(1﹐3),D(2﹐-2)。
(3)M(1﹐4),N(-2﹐4)。
(4)P(-2﹐3),Q(-2﹐-1)。
-5-2
-7
7
解(1)联机AB的斜率m=--(-)=-
2
=,如图(一)
3
1
2
(2)联机CD的斜率m=-2-3=-5,如图(二)
2-1
(3)联机MN的斜率m=4-4
=0
=0,如图(三)
-2-1 -3
(4)∵P、Q有相同的x坐标,联机是铅垂线∴没有斜率,如图 (四)
图(一) 图(二) 图(三) 图(四)
类题 下图三直线L1、L2、L3之斜率分别为m1、m2、m3,
则m1=1,m2=-4,m3=0。
解(1)∵L1过点(1﹐2)及(-2﹐-1)∴斜率m1=--12=-3=1
-2-1-3
(2)∵L2过点(1﹐2)及(2﹐-2)∴斜率m2=-2-2=-4=-4
2-1 1
(3)∵L3过点(1﹐2)及(3﹐2)∴斜率m3=2-2=0=0
3-1 2
高中数学交互式教学讲义 直线方程式及其图形
范例2斜率的大小 搭配课本
如下图,五条直线的斜率分别为 m1,m2,m3,m4,m5,比较其大小。
(A)m4>m2>m5>m1>m3 (B)m3>m1>m2>m5>m4
(C)m2>m4>m5>m1>m3 (D)m1>m3>m5>m4>m2
(E)m1>m3>m5>m2>m4。
解(1)斜率>0方向为左下右上,斜率<0方向为左上右下
(2)越接近铅垂线者斜率的绝对值越大
由以上条件知道五条直线的斜率大小为m1>m3>m5>m2>m4
故选(E)
类题 如右图所示,ABCDE是坐标平面上一个正五边形,下列各直线中,斜率最小者为何?(单选)
直线AB(B)直线BC(C)直线CD(D)直线DE(E)直线AE。
答:(C)。
解(1)斜率>0方向为左下右上,斜率<0方向为左上右下
(2)越接近铅垂线者斜率的绝对值越大
由以上条件知道斜率<0的有直线AB,直线CD,其中斜率最小者为直线CD
故选(C)
范例3三点共线
设A(6﹐6),B(4﹐7),C(2﹐k)三点共线,则 k=。
解 ∵A,B,C三点共线∴mAB=mAC
7-6
k-6
k-6
1
4-6
=
-4
=
2-6
-2
k=8
类题1 若A(4﹐-1),B(m﹐2),C(3﹐n),D(-13﹐8)四点共线,
则数对(m﹐n)=
-5,8
3
17
解 四点共线所以任两点的斜率相同 mAD=mAB=mAC
(-)-
8=
--
-1-n
1
12=
4-(-13)
4-m
4-3
m=-5
3
n=-8
17
故数对(m﹐n)=-5,-8
3 17
类题2 △ABC中,M(-1﹐3)、N(2﹐1)分别为AB与AC的中点,则线段 BC的斜率为
2
3
。
解 ∵M、N分别为AB与AC的中点
∴MN // BC
高中数学交互式教学讲义 直线方程式及其图形
mBC=mMN= 1-3 =-2
2-(-)1 3
类题3 设A(-1﹐2),B(3﹐3),C(3﹐-7),D(k﹐k+2),若AB//CD,则k=-13。
3-2 1
解 ∵mAB= =
3-(-)1 4
(k+2)-(-7) k+9
又mCD= =
k-3 k-3
∵AB//CD∴mAB=mCD
1=k+9
4(k+9)=k-3
3k=-39
k=-13
4k-3
~
点斜式:
通过A(x0﹐y0)且斜率为m的直线方程式,可表为y-y0=m(x-x0)。
一般式:
形式为ax+by+c=0之二元一次方程式,称为直线的一般式,其中a,b,c?,可表示所有的直线(含铅垂线)。
注:当b=0时为铅垂线,无斜率。
当b≠0时,斜率为m=-a。
b
若b≠0,可将ax+by+c=0化为y=-ax-c,则斜率为-a。
b b b
斜截式:
斜率为m且y截距为k的直线方程式,可表为y=mx+k。
说明:因为y截距为k表示直线通过(0﹐k),可由点斜式知方程式为 y-k=m(x-0),即y=mx+k。
截距式:
直线的x截距为a,y截距为b,若ab≠0,则方程式可表为x+y=1。
a b
说明:因为x截距a且y截距b,直线通过(a﹐0)及(0﹐b),
其斜率m=b-0=-b,由点斜式可知方程式表为
0-a a
y-0=-b (x-a),可化为x+y=1,ab≠0。
a a b
范例4点斜式 搭配课本例题2
试求下列各直线方程式:
(1)过点(-3﹐4)且斜率为2之直线。 (2)过点(2﹐5)且斜率为0之直线。
(3)过两点A(3﹐-5),B(7﹐2)之直线。
解(1)利用点斜式得直线方程式为y-4=2(x+3)2x-y=-10
(2)利用点斜式得直线方程式为 y-5=0(x-2) y=5
AB
=
2-(-5)
7
(3)∵m
=
4
7-3
故直线方程式为y+5=7
(x-3)
7x-4y=41
4
类题 试求下列各直线方程式:
高中数学交互式教学讲义 直线方程式及其图形
(1)过点(3﹐5)且斜率为-2之直线。 (2)过(-3﹐4)之铅垂线。
(3)过A(3﹐-11),B(-1﹐5)之直线。
解(1)利用点斜式得直线方程式为y-5=-2(x-3)2x+y=11
(2)∵铅垂线没有斜率∴直线方程式为x=-3
-(-
)
16=-4
(3)mAB=5
--
11
=
1
3
-4
故直线方程式为 y+11=-4(x-3) 4x+y=1
范例5斜截式与截距式 搭配课本例题3
试求下列各直线方程式:
(1)斜率为3且y截距为-2之直线。 (2)斜率为-1且x截距为5之直线。
2
(3)x截距为2,y截距为3之直线。
解(1)∵y截距为-2∴过点(0﹐-2)
故直线方程式为y+2=3(x-0)3x-y=2
(2)
∵x截距为5∴过点(5﹐0)
故直线方程式为y-0=-1
(x-5)
x+2y=5
2
(3)
由截距式知直线方程式为
x+y=1
3x+2y=6
2
3
类题1
直线L的方程式为
2x+3y+6=0,其斜率为
-2
,y截距为-2。
3
解
直线L的斜率m=-2
3
令x=0代入得3y+6=0y=-2
故直线 L的y截距为-2
类题2 试求下列各直线方程式:
(1)斜率为5且y截距为3之直线。 (2)斜率为-3且x截距为4之直线。
(3)x截距为4,y截距为-2之直线。
解(1)∵y截距为3∴过点(0﹐3)
故直线方程式为 y-3=5(x-0) 5x-y=-3
(2)
∵x截距为4∴过点(4﹐0)
故直线方程式为y-0=-3(x-4)
3x+y=12
(3)
由截距式知直线方程式为
x+y
=1
x-2y=4
4-2
范例6直线的斜率
设k为实数,有一直线(
3k-1)x+(k+5)y-7=0,
(1)若直线斜率为-4,则k=。
(2)若直线斜率为
0,则k=。
(3)若直线斜率不存在,则
k=。
-
解(3k-1)x+(k+5)y-7=0之斜率
m=-
3k
1
+
(1)m=-3k-1=-4
k
5
4(k+5)=3k-1
k+5
4k+20=3k-1 k=-21
高中数学交互式教学讲义 直线方程式及其图形
(2)m=-3k-1=0
k=1
k+5
3
(3)斜率不存在的直线为铅直线
∴k+5=0,得k=-5
类题1 试求下列各直线的斜率:
(1)4x+y-7=0。
(2)2x+3=0。
(3)y-5=0。
解(1)4x+y-7=0之斜率m=-4=-4
1
(2)2x+3=0为铅垂线∴没有斜率
y-5=0为水平线∴斜率为0
类题
2
(1)直线
y=x
之斜率为
1,与
x轴正向夹角为
45°。
(2)直线
y=
3x
之斜率为
3 ,与
x轴正向夹角为
60°。
解
(1)
(2)
tanθ=
a=1
tanθ=
3a
=
3
a
a
∴θ=45°
∴θ=60°
范例7斜率与截距的混合使用
如下图,两直线L1、L2之方程式分别为L1:x+ay+b=0、L2:x+cy+d=0,请选出正确的选项。
(A)a<0
(B)b>0
(C)c>0
(D)d>0
(E)c>a。
解
∵L1:y=
-
-
b
L1
的斜率为
-
轴交点(-b﹐0)
1x+
1与x
a
a
a
2
-1
x+
-d
2
-1
与x轴交点(-d﹐0)
∵L:y=
c
c
L
的斜率为
c
由题图知0>-1>-1
0<1<1
a>c>0
a
c
ac
由题图知-b>0
b<0,-d<0
d>0
故选(C)(D)
类题 如右图,三直线L1:y=ax+b,L2:cx+dy=1,L3:ex+fy=1,请选出正确的选项。(单选)
(A)ab>0 (B)cd>0
(C)c>e
(D)bf>1
(E)ad>-1。
解
答:(D)。
(A)×:L1的斜率=a<0,y截距=b>0 ab<0
(B)×:L2的x截距=1<0,y截距=1>0 c<0,d>0
c d
cd<0
(C)×:L2的
x截距=
1,L3的x截距=
1,由题图知
0>
1>1
0>e>c
c
e
c
e