数学精讲大学导数与微分四.docx

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大学数学-导数与微分
导数与微分—内容综述
.导数概念
引例:切线斜率
y
B
(1)导数的定义
:设函数
LB
y
f(x)在x
及其
0
L
附近有定义,如果极限
A
lim
fx
f
x0
x
O
x
x
x0
x0
存在,则称函数
f(x)在
x0处可导,极限值的
f(x)在x
x0处的导数值,记作
dy
大小称为函数
f(x0),
dx
df(x)
x等.
x
dx
0

x x0或
右导数:
左导数:

f
(x0)
f(x0
x)
f(x0)
lim
x
x
0
f
(x0)
f(x0
x)
f(x0)
lim
x
x
0
注:设函数
y
f(x)在x0及其附近有定义,则
f(x)在x0处可导,且
f(x0)
A的充分必要条件是:
f(x)在x0处既是左可导的,又是右可导
的,且f
(x)
A,f(x)
A.
0
0
(2
)导数的几何意义:
f(x0)表示的是曲线y
f(x)在点
(x0,f(x0))处切线的斜率,所以曲线y
f(x)在点(x0,f(x0))处的切
线方程为
y f(x0) f(x0)(x x0).
过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线.
当f(x)0
y
f(x)
(x0
,f(x0))
0
时,曲线
在点
处的法线方程为
yf(x)
1
(xx).
0
f
(x0)
0
两条曲线在点P(x0,y0)处相切指的是它们在P点的切线重合,即它们在x0处不仅函数值相等,导数值也相等.
(3)可导与连续的关系:若函数
f(x)在点x0处可导,则
f(x)在x0处连续.
f(x)
f(x0)
证明:因为f(x)在点x0处可导,所以极限lim
x
存在,
xx0
x0
且
lim
f(x)
f(x0)
f(x).
xx0
x
x0
0
所以
lim[f(x)f(x)]
lim
f(x)
f(x0)(xx)
f(x)0
0
x
0
0
xx0
xx0
x0
.
故f(x)在x0处连续.

x x
引例:如图,边长为x的正方形,当其边长增加了
x时,它的面积增加了
S(x
x)2
x2
2xx(x)2.
上述面积的增加值有两部分构成,
一部分2x
x是
x的一次项,一部分(x)2
满足lim
(
x)2
0,即(
x)2
o(
x).
x
0
x
(1)函数在一点的微分
:设函数y
f(x)在x0及其附近有定义,如果函数值
f(x)在点x0处的改变量
f(x0)可以表示成自变量改变量的一次项
a(x)
x与自变量改变量的高阶无穷小
o(
x)之和,即
0
f(x)a(x)xo(x),
0
0
则称函数
f(x)在x0处可微,a(x0)
x称为
f(x)在x0处的微分,记作
df(x0) a(x0)x.
(2)函数在一点可微与可导的关系— 微分计算公式
定理:函数
f(x)在x0处可微的充要条件是函数
df(x0)
f(x0)
x.
证明:
f(x)在x0处可导,则
lim
f(x)
f(x0)
x
0
x

(x)在x0处可导,且
f(x0).
所 以
lim
f(x)f(x0)
xf(x)
f(x)
f(x)
0
x
lim
x
f(x0)
x0
x
0
.
即
f(x)
f(x0)
f(x0)xo(x)(x
0)
.
故f(x)在x0处可微,且df(x0) f(x0)dx.

f(x0)
所以lim
x 0

f(x)在f(x0
(x0)x

x0处可微,则
x)
f(x
)
a(x)x
o(
x).
0
0
lim[a(x
)
o(x)
a(x
).
]
x
0
x
0
0
故f(x)在x0处可导,且f(x0) a(x0).
本定理说明:一元函数的可导性与可微性是等价的性质,且导数值与微分值满足等式
f(x)
df(x)
,即导数值等于函数微分与自变量微分的商,
所以导数有时也称为
dx
微商.
.导数运算
1)基本导数公式
常函数的导数:
幂函数的导数:

(C)
0.
(x)
x
1
.
指数函数的导数:
(ex)ex,(ax)axlna.
1
1
对数函数的导数:
(lnx)
,(logax)
.
x
xlna
三角函数的导数:(sinx)
cosx,(cosx)
sinx,
(tanx)sec2x,(cotx)
csc2
x,
(secx)secxtanx,(cscx)
反三角函数的导数:(arcsinx)
1
1
x2

cscxcotx.
(arccosx),
(arctanx)
1
,
(arccotx).
x2
1
(2)导数的四则运算
定理:若函数
f(x),g(x)在x处可导,则其和、差、积、商函数均在
x处可
0
0
导,且
(1)[f(x)g(x)]
x
f(x)
g(x);
0
0
0
(2)[f(x)g(x)]
x
f(x)g(x)
f(x)g(x);
0
0
0
0
0
(3
)
f(x)
f(x0)g(x0)
f(x0)g(x0)
x0
g
2
(x0)
g(x)
g(x0)0).
(3)复合函数的链导法:
定理:设函数y
f(g(x))是函数y
f(u)和u
g(x)
g(x)在x
处可导,
f(u)在
0
u0
g(x0)处可导,则函数y
f(g(x))关于x在x0处的导
数为
dy|
f(u)g(x)
f(g(x))g(x).
dx
xx
0
0
0
0
0
(4)隐函数的求导法、
1
1
1
2
xsinyy,1
cosyyy,0
[sinyy
cosyy]y
2
2
2
反函数的求导法:设函数 f,g互为反函数,若f(x0)存在且不为零,则g(y)在
y
f(x)处可导,且g(y
)
1
0
.
0
0
f(x0)
f(f
1(y))
y,f(f
1(y))df1(y)
1
dy
幂指函数求导法:y
f(x)g(x),lny
g(x)lnf(x)
1y
glnf
g1f
y
f
注:参数方程求导 .
.高阶导数
(1)高阶导数的概念: f(n)(x) [f(n1)(x)]
(2)常见的几个函数的高阶导数
(ex)(n)
ex,
1
(n)
(1)nn!
x
,
1
(x
1)n1
(ln(1
x))
(n)
(
1)n1(n
1)!
(1x)n
,
(sinx)
(n)
sin(x
π
(n)
π
n
),(cosx)
cos(xn)
2
2
(3)复合函数、隐函数二阶导数的求法
例:
已知函数
f具有2阶连续导数,
y
f(ex),求y.
解:
根据复合函数的链导法则,由
y
f(ex)求导,得
y f(ex)ex.
因为f(ex)关于自变量x仍然是复合函数,所以它关于 x的导数是
f(ex)ex.
从而由y
f
(ex)ex
再求导,得
y
f(ex)e2x
f(ex)ex.
例:已知函数y
y(x)由方程x
y
1
0确定,求y.
siny
2
解:在方程x
y
1siny
0两端关于变量
x求导,将y看作中间变量,
2
得
1
y
1
ycosy
0.
2
再在上式两端关于
x求导,将y,y均看作中间变量,得
y
1
ycosy
1
(y)2siny
0.
2
2
1
1
siny
将y
y
2
代入上式并整理,得
.
1
1
1
cosy
(1
cosy)3
2
2
导数与微分—典型例题(概念与性质)
例15- ex .
解ex
lim
exx
ex
lim
exex
1
ex.
x
0
x
x
0
x
x
sin1
,
x
0,
0处的可导性.
例15-(x)
x
在x
0,
x
0
解
因为lim
f(x)
f(0)
limx
1sin
1
,所以当
x0
x
x0
x
1
0,即
1
时,函数f(x)
x
sin1,
x
0,
x
在
0,
x
0
x0
处可导,且
f(0)
0;
1时,函数
f(x)
xsin1
,
x
0,
0处不可导.
当
x
在x
0,
x
0
例15-3
.(2009
.18)设函数g(x)在x

x g(x)
lim
sinx
1成立,则(D).
x0
(x)在x
0点连续,但不可导
B.
g(x)
x
0点可导
(x)存在,但g(x)在x
0点不连续

0
x
0

在
时,
g(x)是x的高阶无穷小
lim
xg(x)
【
分
析
】
因
为
sin
1
,
所
以
x0
x
lim
g(x)
lim
x
x
xg(x)
11
0,即g(x)是
x
0sin
x
x0
sin
sin
x
sinx的高阶无穷小(x
0),从而是x的高阶无穷小.
注1:,函数在一点的极限与函数在这一点的情况
无关,而选项 A,B,C都牵扯到了 g(x)在x 0处的值,所以不会成立.
注2:
g(x)
x2,
x
0,
A,
x
即可.
0
例15-
(x
)存在,求下列极限的值
0
(
1
)
lim
f(x0)
f(x0
h)
f(x0h)f(x0)
h
lim
h
h
0
h0
f
(x0);
(2)lim
f
(x0
h)
f
(x0
h)
h
0
2h
lim
[f(x0
h)
f(x0)]
[f(x0)
f(x0
h)]
)
0
2h
f(x0
h
。
例15-5
.设f(x)在x
0的某邻域内有定义,
F(x)
xf(x),则
F(x)在x
0处可导的充分必要条件是
[A]
(A)lim
f(x)
lim
f(x).
(B)lim
f(x)存在.
x
0
x
0
x0
(C) f(x)在x 0处连续. (D) f(x)在x 0处可导.
解 :
F
(
F(
0
x
0
x
x
,
F
(0)
F(x)
F(0)
xf
(x)
lim
f(x).
lim
x
lim
x
x
0
x
0
x
0
例
15-6
.(2005
.
18
)
设
f(x)
在点
x
0
处可
导,
且
f
1
2
n
1,2,3,
,则f
(0)=(
).
n
n




答:C。
分析:因为f
x在点x
0处可导,所以其在点x
0处连续,从而
f(0)
lim
f(
1
2
0
)
lim
,
n
n
n
n
f
(1)
f
(0)
.即正确选项为C.
f
(0)
lim
n
1
2
n
n
例15-7.(2012)
若f(x)是非负连续函数,且
f
2
(x)
2
8,则
lim
x2
4
x
2
f
(2)
(
).




分析:因为f(x)是非负连续函数,所以
lim
f(x)
f(2)
0.
x
2
又,所以f(2)
2,且
lim
f
2(x)
2
f(x)
f(2)
f(x)
2
2
lim
f(x)
f(2)
x2
4
lim
x2
x2
8
x2
x2
2x2
x2