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定义:设A是n阶矩阵,如果数l和n维非零向量x满足
Ax=lx,
那么这样的数l称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A
对应于特征值l的特征向量.
例1:
则l=4为的特征值,为对应于l=4的特征向量.
一、基本概念
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一、基本概念
定义:设A是n阶矩阵,如果数l和n维非零向量x满足
Ax=lx,
那么这样的数l称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A
对应于特征值l的特征向量.
Ax=lx=lEx<=>Ax-lEx=0
非零向量x满足(A−lE)x=0(零向量)
齐次线性方程组有非零解
系数行列式|A−lE|=0
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二、基本性质
在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值(重根按重数计算).
设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln,则
l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann(称为矩阵A的迹,TrA)
l1l2…ln=|A|
当时,A的特征值全为非零数;
结论:
当时,A至少有一个特征值等于零.
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例2:求矩阵的特征值和特征向量.
解:A的特征多项式为
所以A的特征值为l1=2,l2=4.
当l1=2时,对应的特征向量应满足方程组
即
解得基础解系,
kp1(k≠0)就是对应的特征向量.
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例3:求矩阵的特征值和特征向量.
解:
所以A的特征值为l1=−1,l2=l3=2.
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例3:求矩阵的特征值和特征向量.
解(续):当l2=l3=2时,因为
解方程组(A−2E)x=0.
解得基础解系.
k2p2+k3p3(k2,k3不同时为零)就是对应的特征向量.
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二、基本性质(续)
在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值(重根按重数计算).
设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln,则
l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann
l1l2…ln=|A|
若l是A的一个特征值,则齐次线性方程组(A−lE)x=0的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组.
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二、基本性质(续)
在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值(重根按重数计算).
设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln,则
l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann
l1l2…ln=|A|
若l是A的一个特征值,则齐次线性方程组(A−lE)x=0的基础解系就是对应于特征值为l的全体特征向量的最大无关组.
若l是A的一个特征值,则j(l)=a0+a1l+…+amlm
是矩阵多项式j(A)=a0+a1A+…+amAm的特征值.
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例5设A为可逆矩阵,为A的特征值,
p为对应的特征向量,证明:
特征值,p为A*对应的特征向量.
由已知条件可知:
故
证明
为A*的
因此结论成立.
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