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河北省怀来县桑园中学(075441)古金龙
动向问题一般是指几何图形的运动,包含点动(点在线或弧上运动)、线动(线的平移、
对称、旋转)、面动(平面几何图形的平移、对称(翻折)、旋转)。这种问题拥有灵巧性,
多变性,融入三角形,四边形,圆,甚至函数图象,综合运用全等知识,相像知识,三角函
数,勾股定理等知识;同时运动产生变量,又和函数联系起来,利用一次函数、二次函数性
质解说动向问题。数形联合的升华部分就在此。
但万物皆有源,几何以点为源泉,无数个点可以形成各样图形,因此图形的运动实际上是
无数个点的运动。点动带动图形动,图形动惹起点的地点发生变化,相辅相成,变化无量,
但万变不离此中,解决问题要抓住一些重点点即可,现举例说明:
一、双点动回归单点动
点动包含单动点型、双动点型,此中双动点型在中考里常有的,两点速度可以是同速、
异速,方向随图形形状而有所要求。
例1(09浙江丽水)已知直角坐标系中菱形
ABCD的地点如图,C,D两点的坐标分别
为(4,0)
,(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q
沿折线
向终点
A
运动,设运动时间为
t
秒.
CBA
(1)
填空:菱形
ABCD的边长是
、面积是
、高BE的长是;
研究以下问题:
①若点P的速度为每秒1个单位,,求△APQ的面积S对于t的函数关系式,以及S的最大值;
②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变成每秒
k个单位,在运动过程中,任何时辰都有相应的k值,使得
△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形
=4秒时的情况,并求出k的值.
y
D
E
AOCx
B
解析:本题P点限制在一条线段上,而Q点是在折线上
运动,由此注意分类。(2)①中从头限制了Q点在线段上,
因此只要求出三角形高(用相像知识)即可;②中Q点的速度是变量,且运动路线分段,故
需分类议论,解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形,则此三角形必是等腰三角形。
解:(1)5,24,24
5
2)①由题意,得AP=t,AQ=10-2t.
如图1,过点Q作QG⊥AD,垂足为G,由QG∥BE得
个人采集整理仅供参照学****br/>△
∽△
,∴QG
QA,
AQG
ABE
BE
BA
∴QG=48
48t,
y
5
25
D
1
24
24
5
∴S
t
2
≤t≤5).
P
APQG
t(
2
25
5
2
E
G
Cx
24(t
5)2
A
O
∵S
6(5≤t≤5).
Q
25
2
2
B
∴当t=5
时,S最大值为6.
(图1)
2
②要使△APQ沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形,依据轴
对称的性质,只要△APQ为等腰三角形即可.
当t=4秒时,∵点P的速度为每秒
1个单位,∴AP=
:
第一种状况:当点
Q在CB上时,
∵PQ≥BE>PA,∴只存在点
1
Q,使
1
1
y
QA=QP.
D
如图
P
1
1
1
2,过点Q作QM⊥AP,垂足为点M,QM交AC于点
M
1
E
F,则AM=
1
得
AP
2.
由△AMF∽△AOD∽△CQF
,
A
FO
2
FM
Q1FOD
3,
∴FM
3,
AM
CQ1
AO
4
2
B
Q
1
33.
(图2)
∴Q1F
MQ1
FM
10
∴
1
4
=
22
.则
1
t
AP
,
∴
CQ1
11
.
=
QF
k
CQ
5
k
t
CQ1
AP
10
3
第二种状况:当点
Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,
分别使
2
3
y
AP=AQ,PA=PQ.
D
2
2
P
①若AP=AQ,如图3,CB+BQ=10-4=6.
则1t
CB
AP
,∴k
CBBQ2
3.
kt
BQ
AP
2
Cx
2
A
O
②若
=3,如图4,过点
P
作
⊥
,垂足为
,
PAPQ
PNAB
N
由△ANP∽△AEB,得AN
AP.
Q2B
AE
AB
(图3)
∵AE=
AB2
BE27,
∴AN=28.
y
5
25
D
3
56
3
56
194
P
∴AQ=2AN=
,∴BC+BQ=10-
25
25
25
E
C
x
AO
N
Q3
B
C
x
(图4)
个人采集整理仅供参照学****br/>则1t
AP.∴k
CBBQ3
97.
ktCB
BQ3
AP
50
综上所述,当
t=4秒,以所得的等腰三角形
APQ
沿底边翻折,翻折后获得菱形的
k值为11或3
或97.
10
2
50
说明:由本题看出双动点问题可以转变成单动点问题来解决,逐一攻破,动中找静,假
设一点符合条件,描出此点就此处解决。
二、点动惹起线动
线的运动实际上是直线或线段与几何图形的交点不停发生变化,在前几年考察上很单调,
近几年中考命题上有所打破。
09河北)如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=
CA以每秒1个单位长的速度向点
A匀速运动,抵达点
A后马上以本来的速度沿AC返回;
点Q从点A出发沿AB以每秒
1个单位长的速度向点
、Q的运动,
DE保持垂直均分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-、Q同时出发,当
点Q抵达点B时停止运动,点
、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=
,点Q到AC的距离是
B
;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不用写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED可否成
为直角梯形?若能,,请说明原因;
E
Q
(4)当DE经过点C时,请直接写出t的值.
..
DE的产生
D
解析:本题需弄清楚双点运动的路线及方向,且射线
C
过程。想象出整个运动中各个图形地点关系变化的时段,运用相
A
P
图5
似、勾股定理成立函数、方程(等式)
,自然分类思想必不行少。
解:(1)1,8;
5
(2)作QF⊥AC于点F,如图5,AQ=CP=t,∴AP
3t.
由△AQF∽△ABC,BC52
32
4,
得QF
t.∴QF
4t.
4
5
5
∴S
1
(3
t)
4
t,
B
2
5
即S
2
t2
6
t.
5
5
E
(3)能.
①当DE∥QB时,如图6.
DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,∠AQP=90°.
由△APQ∽△ABC,得AQ
AP,
AC
AB
Q
D
APC
图6
个人采集整理
仅供参照学****br/>B
Q
即t
9
.
3
5
8
②如图7,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ=90°.
由△AQP∽△ABC,得
AQ
AP,
AB
AC
即t
3
15.
5
3
8
(4)t
5
45
或t
.
E
D
APC
图7
B
QG
D
2
14
AP
C(E)
【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.
方法一、连结
QC,作QG⊥BC于点G,如图8.
PCt,QC2
QG2
CG2
[3(5
t)]2
[4
4(5t)]2.
5
5
由PC2QC2,得t2
[3(5
t)]2
[4
4(5
t)]2
5
,解得t.
5
5
2
图8B
QG
D
方法二、由CQCPAQ,得QACQCA,进而可得
AP
C(E)
B
BCQ,得CQ
BQ,∴AQ
BQ
5.∴t
5.
2
2
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图9.
(6t)2
[3(5t)]2
[4
4(5t)]2,t
45】
5
5
14
图9
说明:本题一悔过去点的运动方式(单向单程),变成双向且往返;其他本题最大亮点
是两个点的运动带动了射线的运动(不是线的平移)。研究问题时,按要求绘图找到DE位
置(动中找静),利用相像三角形判断、性质,直角梯形、线段垂直均分线性质求解。考察了综合能力。
三、点动带动面动
例1设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径
为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d。
1)如图10,当r<a时,依据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
AO
图10
d、a、r之间关系公共点个数
>a+rd=a+r
ar<d<a+r
个人采集整理仅供参照学****br/>d=ar
d<ar
因此,当r<a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有个;
2)如图11,当ra时,依据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
AOl
图11
d、a、r之间关系公共点个数
>a+r
=a+r
a≤d<a+r
d<a
因此,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
(3)如图12,当⊙O与正方形有5个公
共点时,试说明r5a;
4
4)就r>a的情形,请你模仿“当······时,⊙O与正方形的公共点个
数可能有个”的形式,
最少给出一个对于⊙O与正方形的公共点个数的正确结论。
解析:本题很象学过的圆和圆地点关系的研究,(1)(2)问按要求着手画一画
个;
AOL
图12
即可出答案,思想活跃同学,可以想象出来。(3)问借助几何知识,利用等式关系求解,(4)
问的思想含量较高考虑要全面(经过半径变化产生疏类)。
解:(1)
d、a、r之间关系
公共点个数
d>a+r
0
d=a+r
1
ar<d<a+r
2
d=a
r
1
d<a
r
0
因此,当r<a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
0、1、2
个;
(2)
d、a、r之间关系
公共点个数
d>a+r
0
d=a+r
1
个人采集整理仅供参照学****br/>a≤d<a+r
2
d<a
4
因此,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
(3)如下列图,=OC=r,
OF=EF-OE=2a
r。
2
2
2
在Rt△OCF中,由勾股定理得,OF+FC=OC
即(2ar)2
a2
r2
.整理解得r
5a。
4
(4)①当a<r<5a时,⊙O与正方形
4
的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个;
②当r
5a时,⊙O与正方形的公共点个
4
数可能有0、1、2、5、8个;
0、1、2、4个;
F
EAOL
DC
③当5a<r<2a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个;
4
④r=2a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个。
说明:本题看似圆动,实际上是圆心(点)的地点发生变化,圆地点也随之变化。本题
难点是圆的半径也变化。议论公共交点个数时,依两点(O、A点)距离大小画出静态图的
状况进行分类。
由以上看出,无论双点运动,仍是线、面运动,终究是点的运动。这是解决动向问题的
全能钥匙,动中找静是解决动向问题的必由之路,找到重点点是解决动向问题的风向标。同
时应用分类思想,转变思想,方程思想。将几何问题化归代数的数目关系,全方向认识运动
过程、地点变化状况。其他经过以上几例我们也看出,要想达成动向问题,一定有扎实的基
础(知识全面且运用娴熟),更要有优秀的心态。