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命题点 一次函数的实际应用
1.(2023·河北T23·10分)水平放置的容器内原有210毫米高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4毫米,每放入一个小球水面就上升3毫米,.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围);
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.
①求y与x小的函数关系式(不必写出x小的范围);
②限定水面高不超过260毫米,最多能放入几个小球?
解:(1)y=4x大+210.
(2)①当x大=6时,y=4×6+210=234,
∴y=3x小+234.
②依题意,得3x小+234≤260,解得x小≤8.
∵x小为自然数,∴x小最大为8,即最多能放入8个小球.
2.(2023·河北T24·10分)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如下表:
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个
调整前的
单价x(元)
x1
x2=6
x3=72
x4
…
xn
调整后的
单价y(元)
y1
y2=4
y3=59
y4
…
yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x,y,猜想y与x的关系式,并写出推导过程.
解:(1)设y=kx+b,1分
依题意,得x=6,y=4;x=72,y=59.
∴解得∴y=x-
依题意,得x-1>2,解得x>.
∴x的取值范围为x>.5分
(2)将x=108代入y=x-1,得
y=×108-1=89,∴108-89=19(元).6分
∴
(3)y=x-
推导过程如下:
由(1),得y1=x1-1,y2=x2-1,…,yn=xn-1,
∴y=(y1+y2+…+yn)=[(x1-1)+(x2-1)+…+(xn-1)]=[(x1+x2+…+xn)-n]=×-1=
x-
3.(2023·河北T24·9分)已知A,B两地的路程为240千米,某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地,受各种因素限制,下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输,,行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1),上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下:
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价
元/(吨·千米)
冷藏单价
元/(吨·时)
固定费用
元/次
汽车
2
5
200
火车
5
2280
图1 图2
(1)汽车的速度为60千米/时,火车的速度为100千米/时;
(2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元),分别求y汽,y火与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)及x为何值时,y汽>y火;(总费用=运输费+冷藏费+固定费用)
(3)你从平均数、折线图走势两个角度分析,建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具,才能使每天的运输总费用较省?
解:(2)依题意,得
y汽=240×2x+×5x+200=500x+200,
y火=240×+×5x+2280=396x+>y火,则500x+200>396x+2280,∴x>20.
(3)上周货运量x=(17+20+19+22+22+23+24)÷7=21(吨)>20吨.
从平均数分析,建议预定火车费用较省.
从折线图走势分析,上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势,建议预定火车费用较省.
重难点1 一次函数的图象信息题
(2023·咸宁)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,下列结论:
①甲步行的速度为60米/分;
②乙走完全程用了32分钟;
③乙用16分钟追上甲;
④乙到达终点时,甲离终点还有300米.
其中正确的结论有(A)
【思路点拨】 首先注意,y表示的是两人之间的距离,从图象中,我们可以看到3个确定的点(0,0),(4,240),(16,0).点(4,240)的实际意义就是,甲4分钟步行了240米;(16,0)的实际意义是甲步行16分钟时,两人距离为0,即乙追上了甲,所以乙12分钟追上甲;同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等;乙走完全程时,甲走了34分钟,走了2040米,距离终点360米.
【变式训练1】 (2023·丽水)某通讯公司就上宽带网推出A,B,(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示,则下列判断错误的是(D)
,选择A方式最省钱
,B方式可上网的时间比A方式多
,选择B方式最省钱 ,选择C方式最省钱
解答函数图象信息题要经历“信息提取,图象理解,问题解决”,其方法是:
(1)明确“两坐标轴”所表示的意义;
(2)弄清图象上的转折点、最高(低)点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义;
(3)弄清上升线和下降线所表示的意义.
注意,y表示的是两人之间的距离.
重难点2 一次函数的实际应用
(2023·梧州)我市从2023年1月1日开始,禁止燃油助力车上路,,B两种型号的电动自行车共30辆,.
(1)求A,B两种型号电动自行车的进货单价;
(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元,B型电动自行车每辆售价为3500元,设该商店计划购进A型电动自行车m辆,;
(3)该商店如何进货才能获得最大利润?此时最大利润是多少元?
【思路点拨】 (1)设A,B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元,(x+500)元,构建分式方程即可解决问题;(2)根据总利润=A型的利润+B型的利润,列出函数关系式即可;(3)利用一次函数的性质即可解决问题.
【自主解答】 解:(1)设A,B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元,(x+500),得
=,解得x=2500.
经检验,x=2500是分式方程的解.
答:A,B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元,3000元.
(2)y=300m+500(30-m)=-200m+15000.
(3)∵2500m+3000(30-m)≤80000,∴m≥20.
∵m≤30,∴20≤m≤30.
y=-200m+15000,
∵-200<0,20≤m≤30,
∴m=20时,y有最大值,最大值为11000元.
【变式训练2】(2023·临沂改编)某市为节约水资源,制定了新的居民用水收费标准,按照新标准,用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)按照新标准,用户A一个月用水10m3,需缴纳水费多少元?用户B一个月缴纳水费51元,用水量是多少?
(3)若某用户二、三月份共用水40m3(二月份用水量不超过25m3),,则该用户二、三月份的用水量各是多少?
解:(1)当0≤x≤15时,设y与x的函数解析式为y=kx,则
15k=27,解得k=.
∴y=.
当x>15时,设y与x的函数解析式为y=ax+b,则
解得
∴y=-9.
综上,y关于x的函数解析式为y=
(2)当x=10时,y=×10=18.
由题意,得51=-9,解得x=25.
答:用户A需缴纳水费18元,用户B的用水量是25m3.
(3)设二月份的用水量是xm3,
当15<x≤25时,-9+(40-x)-9=, 方程无解.
当0<x≤15时,+(40-x)-9=,解得x=12.
∴40-x=28.
答:该用户二、三月份的用水量各是12m3,28m3.
,其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式,本题是文字描述,关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式.
、不等式的综合运用的最优问题,一般思路是先求出一次函数关系式,再由不等式确定一次函数自变量的取值范围,最后根据一次函数的增减性确定最值.
.
“某商店计划最多投入8万元购进A,B两种型号的电动自行车共30辆”,是用来求自变量取值范围的.
(cm)是所挂重物x(千克)的一次函数图象如图所示,则不挂重物时,弹簧的长度是(B)
2.(2023·德州)公式L=L0+KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度,L0代表弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示,K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度,用厘米(cm),表明这是一个短而硬的弹簧的是(A)
=10+=10+5P
=80+=80+5P
3.(2023·河北二模)超市有A,B两种型号的瓶子,其容量和价格如表,小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满,且无剩油);当日促销活动:购买A型瓶3个或以上,(个),所需总费用为y(元),则下列说法不一定成立的是(C)
型号
A
B
单个瓶子容量(升)
2
3
单价(元)
5
6
(5-x)为正整数时的值
=x+30
4.(2023·唐山路北区模拟)甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪,一段时间后,乙队被调往别处,甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务,已知甲队每小时的清雪量保持不变,乙队每小时清雪50吨,甲、乙两队在此路段的清雪总量y(吨)与清雪时间x(时)之间的函数图象如图所示.
(1)乙队调离时,甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨;
(2)求此次任务的清雪总量m;
(3)求乙队调离后y与x之间的函数关系式.
解:(2)乙队调离之前,甲、乙两队每小时的清雪总量为=90(吨),
乙队每小时清雪50吨,
∴甲队每小时清雪量为90-50=40(吨).
∴m=270+40×3=390.
∴此次任务的清雪总量为390吨.
(3)由(2)可知,点B的坐标为(6,390),
设乙队调离后y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
∵图象经过点A(3,270),B(6,390),
∴解得
∴乙队调离后y与x之间的函数关系式为y=40x+150.
5.(2023·河北模拟)石家庄市为积极响应中央文明办关于创建全国文明城市的通知,,派出大、小两种型号的垃圾运输车,已知1辆大型垃圾运输车和2辆小型垃圾运输车每次共运20吨,2辆大型垃圾运输车和5辆小型垃圾运输车每次共运45吨.
(1)1辆大型垃圾运输车和1辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨?
(2)该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共30辆参与垃圾运输任务,已知1辆大型垃圾运输车运输花费是500元/次,1辆小型垃圾运输车运输花费是300元/,则每次运输的运费最少是多少?
解:(1)设1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾x吨,1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾y吨,根据题意,得
解得
答:1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾10吨,1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾5吨.
(2)设派出大型垃圾运输车a辆,则派出小型垃圾运输车(30-a)辆,根据题意,可得
10a+5(30-a)≥199,解得a≥.
设运输总花费为W元,则W=500a+300(30-a)=200a+9000.
∵200>0,∴W随a的增大而增大.
又∵a≥,且a为整数,
∴当a=10时,W取得最小值,最小值为200×10+9000=11000(元).
答:每次运输的运费最少是11000元.
6.(2023·唐山乐亭县二模)某新建小区要修一条1050米长的路,甲、乙两个工程队想承建这项工程,经了解得到下表所示信息:
工程队
每天修路的
长度(米)
单独完成所需
天数(天)
每天所需
费用(元)
甲队
30
n
600
乙队
m
n-14
1160
(1)甲队单独完成这项工程所需天数n=35天,乙队每天修路的长度m=50米;
(2)甲队先修了x米之后,甲、乙两队一起修路,又用了y天完成这项工程(其中x,y为正整数).
①当x=90时,求出乙队修路的天数;
②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围);
③若总费用不超过22800元,求甲队至少先修了多少米?
解:(2)①乙队修路的天数为=12(天).
②由题意,得x+(30+50)y=1050.
∴y与x之间的函数关系式为y=-+.
③由题意,得600×+(600+1160)y≤22800.
∴20x+1760×≤22800,解得x≥150.
又∵y为正整数,∴x至少取170米.
答:若总费用不超过22800元,则甲队至少先修了170米.
7.(2023·南京)小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,,离家的距离为sm,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).
(1)小明出发第2min时离家的距离为200m;
(2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数解析式;
(3)画出s与t之间的函数图象.
解:(2)当2<t≤5时,s=100×2+160(t-2)=160t-120.
∴s与t之间的函数解析式为s=160t-120.
(3)s与t之间的函数关系式为
s=
如图所示:
8.(2023·重庆A卷)A,B两地相距的路程为240千米,甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地,分别以一定的速度匀速行驶,甲车先出发40分钟后,,修车耗时20分钟,随后,乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行),甲、、乙两车相距的路程y(千米)与甲车行驶时间x(小时)之间的关系如图所示,求乙车修好时,甲车距B地还有
90千米.
9.(2023·广西)某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨,如果运出甲仓库所存原料的60%,乙仓库所存原料的40%,那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨.
(1)求甲、乙两仓库各存放原料多少吨?
(2)现公司需将300吨原料运往工厂,从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/,从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10≤a≤30),从乙仓库到工厂的运价不变,设从甲仓库运m吨原料到工厂,请求出总运费W关于m的函数解析式(不要求写出m的取值范围);
(3)在(2)的条件下,请根据函数的性质说明:随着m的增大,W的变化情况.
解:(1)设甲仓库存放原料x吨,乙仓库存放原料y吨,由题意,得
解得
答:甲仓库存放原料240吨,乙仓库存放原料210吨.
(2)由题意,从甲仓库运m吨原料到工厂,则从乙仓库运(300-m)吨原料到工厂,
总运费W=(120-a)m+100(300-m)=(20-a)m+30000.
(3)①当10≤a<20时,20-a>0,由一次函数的性质,得W随m的增大而增大;
②当a=20时,20-a=0,W随m的增大没变化;
③当20<a≤30时,则20-a<0,W随m的增大而减小.
、乙两地之间有一条笔直的公路L,小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地,小亮到达甲地停留一段时间,按原路原速返回,追上小明后两人一起步行到乙地,设小明与甲地的距离为y1米,小亮与甲地的距离为y2米,小明与小亮之间的距离为s米,小明行走的时间为x分钟,y1,y2与x之间的函数图象如图1所示,s与x之间的函数图象(部分)如图2所示.
(1)求小亮从乙地到甲地过程中y2(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s(米)与x(分钟)之间的函数关系式;
(3)在图2中,补全整个过程中s(米)与x(分钟)之间的函数图象,并确定a的值.
图1 图2
解:(1)设小亮从乙地到甲地过程中y2与x的函数关系式为y2=kx+b,由图象,得
解得
∴y2=-200x+2000.
(2)由题意得,小明的速度为2000÷40=50(米/分),小亮的速度为2000÷10=200(米/分).
∴小亮从甲地出发追上小明用时为24×50÷(200-50)=8(分钟).
∴24分钟两人距离为24×50=1200(米),相遇时间为24+8=32(分),s=0,设s=k′x+b′,则
解得
∴s=-150x+4800.
(3)如图所示,
当0≤x≤10时,y1=50x,y2=-200x+2000,
令y1=y2,解得x=8.
∴a的值为8.