文档介绍：该【分式方程的增根与无解 】是由【小熙】上传分享，文档一共【12】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【分式方程的增根与无解 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。分式方程的增根与无解
甲:增根是什么?
乙:增根是解分式方程时,把分式方程转变成整式方程这一变形中,
例1、解方程:。①
为了去分母,方程两边乘以,得②
由②解得。
甲:原方程的解是。
乙:但是当时,原方程两边的值相等吗?
甲:这我可没注意,查验一下不就知道了。哟!当时,原方程有的项的分母为0,没存心义,能否是方程变形
过程中搞错啦?
乙:求解过程完整正确,没有任何的差错。
甲:那为何会出现这种状况呢?
乙:因为本来方程①中未知数x的取值范围是且,而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩
大为全体实数。这样,从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。
甲:这样说来,从方程①变形为方程②,这种变形其实不可以保证两个方程的解同样,那么,怎样知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢?
乙:很简单,两个字:查验。能够把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看能否使公分母等于0,假如公分母为0,则说明这个值是增根,不然就是原方程的解。
甲:那么,这个题中就是增根了,可原方程的解又是什么呢?
乙:原方程无解。
甲:啊?!为何会无解呢?
乙:无解时,方程自己就是个矛盾等式,无论未知数取何值,都不可以使方程两边的值相等,如上题中,无论x取
何值,都不可以使方程①两边的值相等,所以原方程无解,又如对于方程
,无论
x取何值也不可以使它成立,因
此,这个方程也无解。
甲:能否是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就必定有增根呢?
乙:不是!有增根的分式方程不必定无解,无解的分式方程也不必定有增根,你看:
例2、解方程,
去分母后化为,解得或,此时,是增根,但原方程其实不是无解,而是有一个解,
而方程,去分母后化为,原方程固然无解,但原方程也没有增根。
乙:增根不是原分式方程的解,但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系能够解决分式方程的有关问题,你看:
例3、已知对于x的方程有增根,求k的值。
第一把原方程去分母,化为。③
因为原方程的最简公分母是,所以方程的增根可能是或
若增根为,代入方程③,得,;
若增根为,代入方程③,得,。
故当或时,原方程会有增根。
甲:固然无解的分式方程不必定有增根,有增根的分式方程不必定无解,但我还感觉无解与增根之间仿佛有种奇妙的关系,这是怎么一回事?
乙:你说的没错,增根与无解都是分式方程的“常客”,它们固然还没有达到如影随行的程度,但二者仍是经常相伴而行的,在有些分式方程问题中,议论无解的情况时应试虑增根,比如:
例4、已知对于x的方程无解,求m的值。
先把原方程化为。④
(1)若方程④无解,则原方程也无解,方程④化为
,当
,而
时,方程④无解,此时
。
(2)若方程④有解,而这个解又恰巧是原方程的增根,这时原方程也无解,所以,当方程④的解为时原方程
无解,代入方程④,得,故。
综合(1)、(2),当或时,原方程无解。
妙用分式方程的增根解题
在解分式方程的过程中,.
例1
若对于x的方程ax
1
1
0
有增根,则a的值为__________________.
x
1
析解:去分母并整理,得
ax
1
x
1,因为原方程有增根,增根只好是
x
1,将x
1
代入去分母后的整式方
程,得a
1.
例2
若对于x的方程x
2
m
2
无解,则m的值是_________.
x
3
x
3
析解:去分母并整理,得
x
m
4
0
.
解之,得x4
m.
因为原方程无解,所以x
4
3
.所以4
m
3,m1.
例3.
已知方程
1
2+2=
k
有增根,则k=______________.
4x
2
x
析解:把原方程化成整式方程,得
12(4x2)
k(x
2).
因为原方程有增根,所以增根只好是
x
2或x2.
将x
2代入1
2(4
x2)
k(x
2),得k
1;
4
将x
2代入1
2(4
x2)
k(x
2),-1.
4
练一练:
1.
假如分式方程
x
x
m
无解,则m的值为(
).
1
x1
(A)1
(B)0
(C)-1
(D)-2
2.
假如方程x
k
x
2
有增根x1,则k=________.
x2
1
1x
答案:;;
分式方程的增根及其应用
一、增根的原由
解分式方程时,有时会产生增根,这是因为我们把分式方程转变成整式方程过程中,无形中取掉了原分式方
程中分母不为零的限制条件,进而扩大了未知数的取值范围,于是就产生了以下两种状况:(1)假如整式方程的
根都在分式方程未知数的取值范围内,那么整式方程的根就是分式方程的根;(2)假如整式方程的有些根不在分式方程未知数的取值范围内,那么这种根就不是分式方程的根,,解分式方程时,验根是必不行少的步骤.
二、利用增根解题
不可以否定,增根的出现给我们的解题带来了必定的麻烦,但是任何事物都有其两面性,由增根的原由知道,分式方程的增根必定是所化成的整式方程的根,同时还可以使其最简公分母的值为零,据此能够解决一些有关的问题,常有的种类有以下几种:
,确立字母系数值
例1:若方程
x
2
m
有增根,则m的值为(
)
x
3
x
3
A.-3
析解:把分式方程两边同乘以公分母x-3,得整式方程x-2(x-3)=,一定使公分母x
-3等于0,即x=3,代入整式方程得3=6-m,解得m=.
评论:方程有增根,①把分式方程化成的整式方程;
②令公分母为0,求出x的值;③再把x的值代入整式方程,求出字母系数的值.
,确立字母系数值
例2:若方程3
2x
2
mx
1无解,则m的值为
(
)
x
3
3
x
3
A.-1
C.-1或3
D.-1或
5
剖析:把分式方程化为整式方程,若整式方程无解,则分式方程必定无解;若整式方程有解,但要使分式方
程无解,则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值,此时相应的字母系数值使分式方程无解.
解:去分母,得(3-2x)-(2+mx)=3-x,整理,得(m+1)x=-+1=0,则m=-1,此时方程无解;若m+1
≠0,则x=
2
2
=3,所以m=
-1或
3,故应选D.
m
1
m1
5
5
评论:方程无解的条件,,又要考虑整
式方程有解,但它是分式方程增根的可能性,考虑问题要全面、周祥.
,确立字母系数值
例3:若解对于x的方程
x
k
x
不会产生增根,则k
的值为
(
)
x
1x2
1x
1
±2
的数
析解:去分母,把分式方程化为整式方程,
x(x+1)-k=x(x-1),解对于k的方程,得k=,分式方程无
增根,则公分母x2-1≠0,即x≠±1,则k≠±.
评论:方程无增根,就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用这一点能够确立字母系
数值或取值范围.
妙用分式方程的增根求参数值
解分式方程时,常经过合适变形化去分母,转变成整式方程来解,若整式方程的根使分式方程中的起码一个
分母为零,则是增根,应舍去,由此定义可知:增根有两个性质:(1)增根是去分母后所得整式方程的根;(2)增根是使原分式方程分母为零的未知数的值,灵巧运用这两个性质,可简捷地确立分式方程中的参数(字母)值,
请看下边例示:
一、分式方程有增根,求参数值
x2
4x
a
例1a为何值时,对于x的方程
x3
=0有增根?
剖析:先将原分式方程转变成整式方程,而后运用增根的两个性质将增根代入整式方程可求
a的值
解:原方程两边同乘以(x-3)去分母整理,得
x2-4x+a=0(※)
因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入(※)得,9-12+a=0a=3
x2
4x
a
所以a=3时,
x3
=0有增根。
评论:运用增根的性质将所求问题转变成求值问题,简捷地确立出分式方程中的参数(字母)值
1
m2m2
例2
m为何值时,对于x的方程x1+x
2=x23x2有增根。
剖析:原分式方程有增根,应是使分母为
0的x值。将这样的x值代入去分母的整式方程可求出
m的值。
解:原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得
(1+m)x=3m+4(※)
3
因为分式方程有增根,据性质(2)知:增根为x=1或x=2。把x=1代入(※),解得m=-2;把x=2代入(※)
得m=-2
3
所以m=-2或-2时,原分式方程有增根
k
2
2
评论:分式方程有增根,不必定分式方程无解(无实)
,如方程x1
+1=(x1)(x2)有增根,可求得k=-3,但分
8
式方程这时有一实根x=3。
二、
分式方程是无实数解,求参数值
x2
m
例3
若对于x的方程x5
=x5+2无实数根,求m的值。
剖析:因原方程无实数根,将原方程去分母获取整式方程解出的
x值为原方程的增根,又
x=5是原方程的增根,
故可求出m的值
解:去分母,得x-2=m+2x-10,x=-m+8
因为原方程无解,所以
x=-m+8为原方程的增根。
又因为原方程的增根为
x=5,所以-m+8=5
所以m=3
评论:这种类题可经过列增根等于增根的方程求出参数值。
分式方程的特别规解法
抓特色选方法
有些分式方程利用一般方法解特别麻烦,若能依据题目的特色,采纳一些特别的方法,即可防止不用要的麻烦,
奇妙地求得方程的解,获喜悦外的欣喜,现联合几道****题予以说明.
一、分组化简法
:
1
1
1
1
x2
x3
x4
0
x5
剖析:此题的最小公分母为(x2)(x3)(x4)(x5),若采纳一般解法,就会出现高次项数,计算相当繁琐,
并且也极易犯错,我们注意到
1
1
1
,
1
1
1
,在此基础上再经过比较上
x2x3(x2)(x3)
x4x5(x4)(x5)
面两式即可将此题求解.
解:原方程化为:
(
1
1
)(
1
1
)
0,∴上式可变成:
1
1
x2x3
x4x5
(x2)(x3)(x4)(x5)
1
1
,
(x2)(x3)(x
4)(x
5)
∴(x2)(x3)(x
4)(x5)
,解这个整式方程得:
x
,当x
,该分式方程中各分式的分母的
值均不为0,所以x
.
二、拆项变形法
3
1
1
4
x2
3x
2
-x
2=
x2
x
x2
2x
剖析:此题求解时应第一将题目中的第
1,3,4
个分式的分母因式分解,再将这几个分式分解成两个分式差
的形式,目的是经过整理将其化繁为简,使方程变得简捷易解.
解:原方程变形为:(
3
3)
1
(
1
1)
(2
2)
x2x1x2
x1x
x
2x
化简后整理得:3
4,∴3(x
1)
4x,解得:x
3
,当
x
3时,分式方程中的各分式的分母均不为
0,故
x1
3是原方程的解.
三、利用特别分式方程
x
1
a
1求解.
x
a
分式方程x
1
a
1的解为x1
a,x2
1,若一个方程等号两边的项分别互为倒数时,则此时即可套用上边
x
a
a
的方程的解法求解.
:
3x
x
1
2
1
x
1
3x
2
剖析:所以题中
3x
与x
1,2与1分别互为倒数,切合方程
x
1
a
1的特色,故可将该方程转变成这种
x
1
3x
2
x
a
方程的形式求解.
解:原方程变形为
3x
x
1
2
1,设则x
1=1,此时原方程变形为:y
1
2
1,∴y
2或y
x
1
3x
2
3x
y
y
2
2
3x
2或3x
1
,解得:x1
2,x2
:x1
2,x2
1都是原方程的解.∴原方程的解为
x
1
x1
2
5
5
x1
2,x2
1.
5
与分式方程根有关的问题分类举例
与分式方程的根有关的问题,在最近几年的中考试题中时有出现,现联合最近几年的中考题分类举例,介绍给读者,供学****复****有关内容时参照。
已知分式方程有增根,求字母系数的值解答此类问题一定明确增根的意义:
(1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用(1)能够确立出分式方程的增根,利用(2)能够求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1.(2000年潜江市)
使对于x的方程产生增根的a的值是()
.-
解:去分母并整理,得:
2
因为原方程的增根为x=2,把x=2代入<1>,得a=4
故应选C。
例2.(1997年山东省)
若解分式方程
产生增根,则
m的值是(
)
A.-1或-2
B.-1或2
-2
解:去分母并整理,得:
又原方程的增根是x=0或,把x=0或x=-1分别代入<1>式,得:
m=2或m=1
故应选C。
例3.(2001年重庆市)
若对于x的方程有增根,则a的值为__________。
解:原方程可化为:
又原方程的增根是,把代入<1>,得:
故应填“”。
例4.(2001年鄂州市)
对于x的方程会产生增根,求k的值。
解:原方程可化为:
又原方程的增根为x=3,把x=3代入<1>,得:
k=3
,解对于x的方程:只有增根x=1。
解:原方程可化为:
把x=1代入<1>,得k=3
所以当k=3时,解已知方程只有增根x=1。
评注:由以上几例可知,解答此类问题的基本思路是:
(1)将所给方程化为整式方程;
(2)由所给方程确立增根(使分母为零的未知数的值或题目给出)
(3)将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值。
;
,求字母系数的值或取值范围
例6.(2002年荆门市)
当k的值为_________(填出一个值即可)时,方程
只有一个实数根。
解:原方程可化为:
要原方程只有一个实数根,有下边两种状况:
(1)当方程<1>有两个相等的实数根,且不为原方程的增根,所以由
得k=-1。当
k=-1
时,
方程<1>的根为
,切合题意。
(2)方程<1>有两个不相等的实数根且此中有一个是原方程的增根,所以由
方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入<1>得k=0,或k=3,均切合题意。
综上所述:可填“-1、0、3”中的任何一个即可。
,得
k>-1。又原
例7.(2002年孝感市)
当m为何值时,对于x的方程无实根?
解:原方程可化为:
要原方程无实根,有下边两种状况:
(1)方程<1>无实数根,由
,得
;
(2)方程<1>的实数解均为原方程的增根时,原方程无实根,而原方程的增根为
x=0
或
x=1,把
x=0
或
x=1
分别代入<1>得m=2。
综上所述:当
或当
m=2时,所给方程无实数解。
例8.(2003年南昌市)
已知对于x的方程有实数根,求m的取值范围。
解:原方程化为:
要原方程有实数根,只需方程<1>有实数根且起码有一个根不是原方程的增根即可。
(1)当m=0时,有x=1,明显x=1是原方程的增根,所以m=0应舍去。
(2)当
时,由
,得
。
又原方程的增根为
x=0或
x=1,当
x=0时,方程
<1>不行立;当
。
综上所述:当且时,所给方程有实数根。
评注:由以上三例可知,由分式方程根的状况,求字母系数的值或取值范围的基本思路是:
(1)将所给方程化为整式方程;
(2)依据根的状况,由整式方程利用根的鉴别式求出字母系数的值或取值范围,注意清除使原方程有增根的字母系数的值。
已知分式方程无增根,求字母系数的取值范围
,解对于x的方程:无增根?
解:原方程可化为:
又原方程的增根为
x=2或
,把
x=2
或
分别代入<1>得:
或
又由
知,a能够取任何实数。
所以,当且时,解所给方程无增根。
评注:解答此类问题的基本思路是:
(1)将已知方程化为整式方程;
(2)由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围;
(3)从有实数根的范围里清除有增根的值,即得无增根的取值范围。
已知分式方程根的符号,求字母系数的取值范围
,求a的取值范围。
解:原方程可化为: