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函数极限总结
极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。
极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N定义)。
从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1]
极限定义
函数极限:设函数f(x)在点的x0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式:
那么常数A就叫做函数f(x) 当x→x0时的极限,记作。[2]
单侧极限:.左极限:或
.右极限:或
定理:
函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即。
极限概念
函数极限可以分成以的极限为例,f(x)在点x0以A为极限的定义是:对于任意给定的正数
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ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式时,对应的函数值f(x)都满足不等式:|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2]
存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
准则Ⅰ.如果数列,及满足以下条件:
从某项起,即,当时,有;
;,
那么数列的极限存在,且
准则Ⅰ'如果(1)当(或)时,
(2),,
那么存在,且等于。
夹逼定理:(1)当时,有  成立
(2) ,那么,极限存在,且等于A
【准则Ⅰ,准则Ⅰ´合称夹逼定理】
准则Ⅱ:单调有界数列必有极限
准则Ⅱ':设函数在点的某个左(右)邻域内单调并且有界,则在的左(右)极限必定存在[3]
单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。
柯西准则:数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时,有成立。[2]
极限运算相关法则、定理及推论
.设α、β为同一极限过程下的无穷小
(无穷小)
.穷小之积为无穷小
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(无穷小)
推论:.常数与无穷小之积为无穷小
.有限个无穷小之积为无穷小
.有界函数与无穷小之积为无穷小
.函数极限运算法则
定理:设,则
若,则
,而c为常数那么
定理(复合函数求极限法则)
设函数是由函数与函数复合而成,在点的某去心邻域内有定义,若,且存在,当时,有,则。
两个重要极限:.
.即若,
则
常用等价无穷小:当时,
,,,
计算极限方法总结
直接带入求极限
例1.
【解】
(2)约零因子求极限
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【说明】x→1表明x与1无限接近,但。所以x-1这一零因子可以约去。
【解】
(3)分子分母同除求极限(公式法)
【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】
【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方
(2)
(4)分子(分母)有理化求极限
【说明】分子分母有理化求极限,是通过有理化去除无理式
【解】
【解】
【注】本题除使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
(5)应用两个重要极限求极限
【说明】两个重要极限是和
【说明】用第二个重要极限时主要搞清楚步骤:先凑出1,在凑,最后凑指数部分。
【解】
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(6)用等价无穷小两代换求极限
【说明】(1)常见的等价无穷小有:
当x→0时,x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x)=ex-1,
1-cosx=,,,
。
(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式;
(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
【解】
【解】
(7)用洛必达法则求极限
【说明】和型的极限,可通过洛必达法则来求。
【解】
【注】有许多变动上限的积分表示的极限,常用洛必达法则求解。
,且,求极限
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【解】由于,于是
(8)用对数恒等式求极限
【解】
【注】对于形势的未定式,也可用公式
因为
【解1】原式=
【解2】原式=[4]
[1]极限理论/%E6%9E%81%E9%99%90%E7%90%86%E8%AE%BA/5081808?fr=
[2]函数极限?fr=
[3]同济大数学系《高等数学第七版上册》北京高等教育出版社1987年
[4]来自QQ空间由大学生笔记墙整理