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北京农大附中闫小川
求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题,是高考的一个热门,也
是同学学****中的一个难点。本文经过对一道典型例题的多种解法的商讨,归纳出求点到平面的距离的几种基本方法。
例(2005年福建高考题)如图1,直二面角DABE中,四边形ABCD
是边长为2的正方形,AEEB,F为CE上的点,且BF平面ACE。
(Ⅰ)求证:AE平面BCE;
(Ⅱ)求二面角BACE的大小;
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离。
DC
F
AB
E
图1
(Ⅰ)、(Ⅱ)解略,(Ⅲ)解以下:
一、直接法
利用两个平面垂直,,A,,
l,AMl,。
图2
1
解:如图3,过点A作AGEC,连接DG,CG,则平面ADG∥平面BCE,
∵平面BCE
平面ACE,
∴平面ADG
平面ACE,
作DH
AG,垂足为H,则DH
平面ACE.
∴DH
是点D到平面ACE的距离.
在Rt
ADG中,DH
ADDG
22
23.
AG
6
3
G
DC
H
F
A
B
E
图3
二、平行线法
如图4,
,
l
∥
,为
上随意一点,
AM
,
,则
AMBN
。
Al
Bl
BN
点A到平面的距离转变为平行于平面
的直线l到平面
的距离,
再转变为直
线l上随意一点B到平面
的距离.
图4
解:如图5,过点D作DMAE,连接CM,则DM∥平面ACE,
点D到平面ACE的距离转变为直线DM到平面ACE的距离,再转变为点
M到平面ACE的距离.
作MNCE,垂足为N,
2
∵平面CEM平面ACE,
MN平面ACE,
MN是点M到平面ACE的距离。
在Rt
CEM中,MN
EMCM
22
23.
CE
6
3
D
C
M
N
F
A
B
E
图5
三、斜线法
利用平面的斜线及三角形相像,
6、7,lO,A,Bl,AM,BN,若AOt,
BO
到平面的距离转变为求直线l上的点B到平面的距离.
图6图7
解:如图8,BD与AC的交点为Q,即BD平面ACEQ,
∵DQBQ,
∴点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等。
∵平面BCE平面ACE,BF平面ACE,
∴BF是点B到平面ACE的距离。
3
在Rt
BCE中,BF
BCBE
22
23.
CE
6
3
D
C
Q
F
AB
E
图8
四、线面角法
如图9,
为平面的一条斜线,
AOP
,
,
与
所成的角为
,
OP
OAl
OP
A到平面的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知,有
dlsin
。
经过OP与
垂直的平面与
订交,交线与OP所成的锐角就是OP与
所成
的角
,这里其实不强求要作出A在
上的射影B,连接OB得.
图9
解:如图10,∵BF平面ACE,
∴平面BDF平面ACE,
BQF为DQ与平面ACE所成的角为
,则点D到平面ACE的距离
dDQsin.
由(Ⅱ)知二面角BAC
E的正弦值为
6
,得sin
6。
3
3
∴D到平面ACE的距离d
2
62
3。
3
3
4
D
C
Q
A
F
B
E
图10
五、二面角法
如图11,
l,
、所成二面角的大小为
,A
,ABl,ABa,
点A到平面
的距离AO
d,则有d
asin。也就是二面角的大小,而不强
求作出经过
AB的二面角的平面角。
图11
解:如图12,∵平面
ACD
平面
ACE
ACDQ
平面
ACDDQ
AC
,
,
,
设二面角DACE的大小为
,则点D到平面ACE的距离d
DQsin.
由(Ⅱ)知二面角BAC
E的正弦值为
6,得sin
6。
3
3
∴D到平面ACE的距离d
2
6
2
3。
3
3
5
DC
Q
A
F
B
E
图12
六、体积法
解:如图13,过点E作EO
AB交AB于点O,OE1.
∵二面角DABE为直二面角,
EO⊥平面ABCD。
设D到平面ACE的距离为h,
VDACE
VEACD,
1
1
EO.
∴SACEh
SACD
3
3
AE
平面BCE,
∴AE
EC。
1
1
21
ADDCEO
2
2
3.
∴h
2
2
1
EC
1
6
3
AE
2
2
2
∴点D到平面ACE的距离为2
3.
3
D
C
F
AB
O
E
图13
6
七、向量法
解:如图14,以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直
线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,成立空间直角坐标系Oxyz,
AE平面BCE,BE平面BCE,
∴AEBE,
在RtAEB中,AB2,O为AB的中点,∴OE1,
∴A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).
AE(1,1,0),AC(0,2,2).
设平面ACE的一个法向量为n(x,y,z),
则AEn0,即xy0,
AC
n0,
2y
2z0.
y
x,
解得
x.
z
令x1,得n
(1,
1,1)
是平面ACE的一个法向量。
∵AD//z轴,AD
2,∴AD
(0,0,2),
∴点D到平面ACE的距离
d|AD||cos
AD,n||AD
n|2
23.
|n|
3
3
z
DC
F
AOBy
xE
图14
7
练****br/>如图15,已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,
GC垂直于ABCD所在平面,且GC2,求点B到平面EFG的距离。(答案:
211
11
)
G
DC
F
AEB
8