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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
={x|x<1},B={x|},则
A. B. C. D.
,,则此点取自黑色部分的概率是
A. B. C. D.
:若复数满足,则; :若复数满足,则;
:若复数满足,则; :若复数,则.
其中的真命题为
A. B. C. D.
,,则的公差为
,,则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,,这些梯形的面积之和为
−2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入
>1000和n=n+1 >1000和n=n+2 =n+1 =n+2
:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是
,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
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C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
,且,则
<3y<5z <2x<3y <5z<2x <2x<5z
,开发了一款应用软件。为激发大家学****数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
,y满足约束条件,则的最小值为.
:(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°,则C的离心率为________。
,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
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(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和().
附:若随机变量服从正态分布,则,
,.
20.(12分)
已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
21.(12分)
已知函数ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
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(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
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理科数学参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. 14.-5 15. 16.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解:(1)
由题意可得,
化简可得,
根据正弦定理化简可得:。
(2)
由,
因此可得,
将之代入中可得:,
化简可得,
利用正弦定理可得,
同理可得,
故而三角形的周长为。
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.
(1)证明:
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,
又,PA、PD都在平面PAD内,
故而可得。
又AB在平面PAB内,故而平面PAB⊥平面PAD。
(2)解:
不妨设,
以AD中点O为原点,OA为x轴,OP为z轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标:,
因此可得,
假设平面的法向量,平面的法向量,
故而可得,即,
同理可得,即。
因此法向量的夹角余弦值:。
很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为。
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和().
附:若随机变量服从正态分布,则,
,.
解:(1)
由题意可得,X满足二项分布,
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因此可得
(2)
由(1)可得,属于小概率事件,
故而如果出现的零件,需要进行检查。
由题意可得,
,因此需要进行检查。
此时:,
。
20.(12分)
已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
解:(1)
根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1,)不可能同时在椭圆上,
P3(–1,),P4(1,)一定同时在椭圆上,
因此可得椭圆经过P2(0,1),P3(–1,),P4(1,),
代入椭圆方程可得:,
故而可得椭圆的标准方程为:。
(2)由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在,
不妨设直线P2A为:,P2B为:.
联立,
假设,此时可得:
,
此时可求得直线的斜率为:,
化简可得,此时满足。
当时,AB两点重合,不合题意。
当时,直线方程为:,
即,当时,,因此直线恒过定点。
21.(12分)
已知函数ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围.
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解:
(1)对函数进行求导可得。
当时,恒成立,故而函数恒递减
当时,,故而可得函数在上单调递减,在上单调递增。
(2)函数有两个零点,故而可得,此时函数有极小值,
要使得函数有两个零点,亦即极小值小于0,
故而可得,令,
对函数进行求导即可得到,故而函数恒递增,
又,,
因此可得函数有两个零点的范围为。
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
解:
将曲线C的参数方程化为直角方程为,直线化为直角方程为
(1)当时,代入可得直线为,联立曲线方程可得:,
解得或,故而交点为或
(2)点到直线的距离为,
即:,
化简可得,
根据辅助角公式可得,
又,解得或者。
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
解:
将函数化简可得
当时,作出函数图像可得的范围在F和G点中间,
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联立可得点,因此可得解集为。
即在内恒成立,故而可得恒成立,
根据图像可得:函数必须在之间,故而可得。