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活用圆锥曲线定义巧解题大纲
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活用圆锥曲线定义巧解题大纲
课题:活用圆锥曲线定义巧解题
定义是揭穿事物实质属性的思想形式,面对一个数学对象,回顾它的定义,“形”的一致,第必定义则表现了“质”,,“定义”在求解圆锥曲线问题中有哪些老例应用.
、F2是椭圆的两个焦点,过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点,使PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.
解:设|PF1|=t,则|PQ|=t,|F1Q|=2t,由椭圆定义有:|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF
2|=2a,∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a,即(2+2t=4a,t=(4-22a,∴|PF2|=2a-t=(22-2a,在Rt△PF1F2
中,|F1F1|2
=(2c2
,∴[(4-22a]2
+[(22-2a]2
=(2c2
(a2
=9-62,∴e=a=26-.
评论:我们在解有关圆锥曲线问题时,假如题目涉及焦点、准线方程、离心率、
圆锥曲线上的点这四个条件中的三个,我们一般的就要联想到圆锥曲线定义,有时甚
至只要知道此中的两个条件,,将会带给我们意想不到的方便和简单.
(2222>>+babyax和双曲线0,(22
22>-nmn
ymx有公共的焦点0,(1cF-、0,(2cF,P
为这两曲线的交点,求21PFPF?的值.
解:设vPFuPF==21,,则???
+=-±=-=+222222nmbamvuavu,由①②得??
+=-=mavm
au,结合③得2221mauvPFPF-=?=?或22nb+.
说明:做这道题时,假如我们从P为这两曲线的交点出发,想经过联立方程组解点P的坐标,再利用两点间距离公式去求21,PFPF其,过程十分繁琐,但假如从椭圆与双曲线的定义出发,就比较简单解决问题.
①②
③
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,FF12、是双曲线xy2
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2
3
-=1的左、右焦点,M(6,6为双曲线内部的一点,P为双
曲线右支上的一点,求:
(1||||PMPF+2的最小值;(2||||PMPF+
1
2
:(1||||||||||PMPFMFPFPF+-+=21128;≥(2||||||||||||PMPFPMPFePMPH+
=+=+≥1211
2
(此中|PH|为P到右准线l的距离
说明:(1和式“||||PMPF+2与双”曲线第必定义有质的差别,能否转变成“差”是解题的要点;(2要点在于办理12
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2||PF的系数,于是联想到e=2,可用第二定义转变.
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.
222
21-=的右焦点F2的直线,且和双曲线右支交于A、B两点,则以AB
为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点?
解:如图,分别过A、B及圆心M作双曲线右准线l1的垂线
垂足分别为ABM*
*
*
、、
则||(||||(||||||*
MMAABBeAFBFeABR
e
R=
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+=+==<12121222(此中e为双曲线的离心率,R为圆的半径
求动点轨迹方程,若动点运动规律或几何拘束等式吻合某一圆锥曲线的定义时,可直接确立其标准方程,并得出待定系数之值,从而直接得出结果.
,1(1F,长轴长为4,求椭圆中心的轨迹.
简析:设椭圆中心为,,(yxM因为椭圆的一个焦点为0,1(1F,则椭圆的另一个焦点为2,12(2yxF-,再由椭圆的定义知421=+OFOF,即42(12(122=+-+
yx,即4
9
21(22=+-yx(除去点
(0,1-
说明:此题看似简单,倒是一道颇费思索的题目,当题中条件不易直接得出结论时,,用定义法求轨迹方程有五个步骤:
,从中研究动点M的轨迹能否吻合某种圆锥曲线的定义——定性;
、或极点的地址——定位;、b、c或p的值——定量;——定方程;——定范围
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处,C村与B地相距4km,,,分别向A村,C村送
电,但C村有一村办工厂,用电须用专用线路,,变电房M应建在A村的什么方向?并求出M到A村的距
离.
分析:实质应用问题要将问题转变成数学模型来解决.
解由题意知,||||84||MAMBBC+=>=,故点M在以,
图,建立平面直角坐标系0xy,
则(2,0,(2,0,(BCA--.所以点M的轨迹方程为
2211612xy+=.又1
2
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cea==,右准线2:8alxc==.过M作MNl⊥于N
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,则由椭
圆的第二定义可知||2||MNMC=.依题意知求||2||MAMC+的最小值,即求
||||MAMN+的最小值,由平面几何知识可知,当,,MAN共线时,||||MAMN+最
小.
所以MN,即变电房应建在A村的正东方向且距A
村2km处.
说明:本解法综合观察了椭圆的第必定义以及标准方程,并利用椭圆的第二定义求最小值问题,特别是第二定义的应用,并借助了数形结合使问题得以解决.
从上边我们可以看出:运用圆锥曲线的定义解题,经过数形结合,不但能抓住问题的实质,还可以避开复杂的运算,使问题奇妙获解.
(122
22>>=+bab
yax中假如∠PF1F2=α∠,PF2F1=β,求离心率.
22
=-yx的右焦点F,右准线l,直线3+=kxy经过以F、l为对应焦点和准线的椭
圆的中心,求k的取值范围.
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,某村在
送到庄稼地ABCD中去,已知
P处有一堆化肥,今要把这堆肥料沿道路100PAm=,150PBm=,60APB?
PA或
PB
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∠=,能否在田
地ABCD中确立一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近;而另一侧沿道路PB送肥较近?假如能,请说出这条界线是一条什么曲线,并求出
其方程.
、F2为椭圆12
222
=+
bya的两焦点,若椭圆上存在一点
,使∠
F1PF2=90,°求椭圆的离心率的取值范围.
19
252
2=+yx上一点,1F、2F是椭圆的两个焦点,02160=∠PFF,求21PFF?的面积.
(-2,,设F为椭圆
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2=+yx的右焦点,M为椭圆上的一动点,求MFAM2+的最小值,并求出此时点
的坐标.
,已知三点A(-7,0,B(7,0,C(2,-12。①若椭圆过A、B两
点,且C
为
其一焦点,求另一焦点P的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A、B两点,且C为其一焦点,求另一焦点Q的轨迹方程.
:1694(2
2
=+-yx,C2:94(2
2
=++yx,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,求动圆圆心的
轨迹方程.
,舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米,它们准备捕海洋动物,某时刻A发现动物信号,4秒后B、C同时发现这类信号,,动物信号的流传速度为1千米/秒,炮弹的速度是
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20g
千米/秒,此中g为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰A发射炮弹的方向
角和仰角应是多少?
答案与提示:
:|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
|
|||22221PFPFcacace+===
,由正弦定理得|PF1|=2Rsinβ,|PF2|=2Rsinα,|F1F2|=2Rsin(α+β,
∴
2
cos
cos
2cos2sin2cos
sin
2sinsin
sin(sin(sin2sin(2||||221β
αβ
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αβ
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