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一,直线与平面平行的判定与性质
典型例题一
例1简述下列问题的结论,并画图说明:
(1)直线a
平面
,直线baA,则b和的位置关系如何?
(2)直线a
,直线b//a,则直线b和
的位置关系如何?
分析:(1)由图(1)可知:
(2)由图(2)可知:
b
或b
A;
b//
或b
.
说明:此题是考查直线与平面位置关系的例题,要注意各种位置关系的画法与表示方法.
典型例题二
例2 P是平行四边形 ABCD所在平面外一点, Q是PA的中点,求证:PC//平面BDQ.
分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.
证明:如图所示,连结 AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO CO,连结OQ,则OQ在平面BDQ内,且
OQ是 APC的中位线,
PC//OQ.
∵PC在平面BDQ外,
PC//平面BDQ.
说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直线平
行,怎样找这一直线呢?
由于两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,:
过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.
典型例题三
例3经过两条异面直线
a,b之外的一点
P,可以作几个平面都与
a,b平行?并证明你的
结论.
分析:可考虑
P点的不同位置分两种情况讨论.
解:(1)当P点所在位置使得
a,P(或b,P)本身确定的平面平行于b(或a)时,过P
点再作不出与a,b都平行的平面;
(2)当P点所在位置a,P(或b,P)本身确定的平面与
b(或a)不平行时,可过点P
作a//a,b//,b异面,则a,b不重合且相交于
P,a,b
确定的平面
,则由线面平行判定定理知:
a//,b//.可作一个平面都与
a,b平行.
故应作“0个或1个”平面.
说明:本题解答容易忽视对
P点的不同位置的讨论,漏掉第(
1)种情况而得出可作一个平面
,考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论.
典型例题四
例4平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平面.
已知:直线
a//b,a//平面
,b.
求证:b//
.
证明:如图所示,过
a及平面
内一点A作平面.
设
c,
∵a//,
∴a//c.
又∵a//b,
b//c.
∵b
,c
,
∴b//
.
说明:根据判定定理,只要在
内找一条直线c//b,根据条件a//
,为了利用直线和平面
平行的性质定理,可以过 a作平面 与 相交,我们常把平面 称为辅助平面,它可以起到
桥梁作用,把空间问题向平面问题转化.
和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例如,本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的.
典型例题五
例5 已知四面体 S ABC的所有棱长均为 :
1)异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长;
2)异面直线EF和SA所成的角.
分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 SC、AB
的公垂线段,进而求出其距离;对于异面直线所成的角可
采取平移构造法求解.
解:(1)如图,分别取 SC、AB的中点 E、F,连结
SF、CF.
由已知,得 SAB≌CAB.
∴SF CF,E是SC的中点,
EFSC.
同理可证EF AB
∴EF是SC、AB的公垂线段.
在Rt
SEF中,
SF
3a
SE
1a
2
,
2
.
∴EF
SF2
SE2
3
a2
1
a2
2
a
4
4
2
.
(2)取AC的中点G,连结EG,则EG//SA.
∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线
EF和SA所成的角.
连结FG,在RtEFG中,
EG
1a
GF
1a
EF
2a
2
,
2
,
2.
由余弦定理,得
EG2
EF2
GF2
1
2
2
2
1
2
cos
4
a
4
a
4
a
2
GEF
2EGEF
21a
2a
2
2
2
.
GEF45.
故异面直线EF和SA所成的角为45.
说明:对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来,然后再求值.
典型例题六
例6如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内.
已知:直线
a//
,B
,B
b,
b//a.
求证:
b
.
分析:由于过点
B与
a平行的直线是惟一存在的,因此,本题就是要证明,在平面
外,不
存在过B与a平行的直线,这是否定性命题,所以使用反证法.
证明:如图所示,设
b
,过直线a和点B作平面
,且
b'
.
∵a//,∴b'//
.
这样过B点就有两条直线
b和b'
同时平行于直线
a,与平行公理矛盾.
∴b必在
内.
说明:(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据.
(2)本例还可以用同一法来证明,只要改变一下叙述方式.
如上图,过直线a及点B作平面
,设
b'
.∵a//,∴b'
//
.
这样,b'
与b都是过B点平行于a的直线,根据平行公理,这样的直线只有一条,
∴b与b'
重合.∵b'
,∴b
.
典型例题七
例7下列命题正确的个数是(
).
(1)
若直线l上有无数个点不在平面
内,则l//
;
(2)
若直线l平行于平面
内的无数条直线,则l//
;
(3)
若直线l与平面
平行,则l与平面
内的任一直线平行;
(4)
若直线l在平面
外,则l//
.
分析:,还可以按照直线是否在平面内来分类.
解:(1)直线
l上有无数个点不在平面
内,并没有说明是所在点都不在平面
内,因而直线
可能与平面平行亦有可能与直线相交.
解题时要注意“无数”并非“所有”.(2)直线
l虽与
内
无数条直线平行,但
l有可能在平面
内,所以直线
l不一定平行
.(3)这是初学直线与平面
平行的性质时常见错误,
l//
时,若
m
且m//l
,则在平
面 内,除了与
m平行的直线以外的每一条直线与
l都是异面直线.
(4)直线
l在平面
外,应
包括两种情况:
l//
和l与
相交,所以
l与
不一定平行.
故选A.
说明:如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系,解题时更要注意分类要完整,考虑
l、m都平行于
,则
l与m的位置关系可能平行,可能相交也有可能异面;
再如直线l//m、
典型例题八
l//
,则
m与
的位置关系可能是平行,可能是
m在
内.
例8 如图,求证:两条平行线中的一条和已知平面相交,则另一条也与该平面相交.
已知:直线 a//b,a平面 :直线b与平面相交.
分析:利用a//b转化为平面问题来解决,由
a//b可确定一辅助平面
,这样可以把题中相
关元素集中使用,既创造了新的线面关系,又将三维降至二维,使得平几知识能够运用.
解:∵a//b,
∴a和b可确定平面
.
∵a
P,
∴平面
和平面
相交于过点P的直线l.
∵在平面
内l与两条平行直线
a、b中一条直线a相交,
∴l必定与直线b也相交,不妨设bl
Q,又因为b不在平面
内(若b在平面
内,则
和都过相交直线b和l,因此
与
重合,a在内,和已知矛盾).
所以直线b和平面 相交.
说明:证明直线和平面相交的常用方法有:证明直线和平面只有一个公共点;否定直线在平面内以及直线和平面平行;用此结论:一条直线如果经过平面内一点,又经过平面外一点,
则此直线必与平面相交(此结论可用反证法证明) .
典型例题九
例9 如图,求证:经过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面与另一条直线平行.
已知::过 b且与a平行的平面有且只有一个.
分析:“有且只有”的含义. “有”
就是要证明过直线 b存在一个平面 ,且a// ,“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯
(或作出)平面,唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论.
证明:(1)在直线b上任取一点
A,由点A和直线a可确定平面
.
在平面
内过点A作直线a'
,使a'//a,则a'
和b为两相交直线,
所以过a'
和b可确定一平面
.
∵b
,a与b为异面直线,
∴a
.
又∵a//a'
,a'
,
∴a//
.
故经过b存在一个平面
与a平行.
(2)如果平面
也是经过b且与a平行的另一个平面,
由上面的推导过程可知
也是经过相交直线b和a'
的.
由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知,平面
与
重合,
即满足条件的平面是唯一的.
说明:对于两异面直线
a和b,过
b存在一平面
且与
a平行,同样过
a也存在一平面
且
(以后可证)
.对于异面直线
a和b的距离,也可转化
为直线a到平面 的距离,这也是求异面直线的距离的一种方法.
典型例题十
例10 如图,求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
已知:
l,a//,a//
,求证:a//l.
分析:,
可以先证明直线
a分别和两平面的某些直线平行,
即线面平行可得线线平行.
然后再用线面平
行的判定定理和性质定理来证明
a与l平行.
证明:在平面
内取点
P,使P
l,过P和直线a作平面
交
于b.
∵a//
,a
,
b,
∴a//b.
同理过a作平面
交
于c.
∵a//
,a
,
c,
∴a//c.
∴b//c.
∵b
,c
,
∴b//
.
又∵b
,
l
,
b//∵a//b,
a//l.
另证:如图,在直线
l上取点
M
,
过M
点和直线
a作平面和
相交于直线
l1,和
相交于直线
l2
.
∵a//
,∴a//l1,
∵a//
,∴a//l2,
但过一点只能作一条直线与另一直线平行.
∴直线l1
和l2
重合.
又∵l1
,l2
,
∴直线l1
、l2
都重合于直线l,
a//l.
说明:“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的,这种转化的思想在立体几何中非常重要.
典型例题十一
例11
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于
AB,在AE、BD上各取一点P、Q,
且AP
:PQ//面BCE.
分析:要证线面平行,可以根据判定定理,
BCE中如何
找一直线与 ,这样的平面位置不同,所找
的交线也不同.
证明一:如图,在平面 ABEF内过P作PM//AB交BE于M,
在平面ABCD内过Q作QN//AB交BC于N,连结MN.
PM
PE
∵PM//AB,∴AB
AE.
又∵QN//AB//CD,
QN
BQQN
BQ
∴DC
BD,即AB
BD.
∵正方形
ABEF与ABCD有公共边AB,
AEDB.
∵AP DQ,∴PE BQ.
PMQN.
又∵PM//AB,QN//AB,
PM//QN.
∴四边形PQNM为平行四边形.
PQ//MN.
又∵MN 面BCE,
PQ//面BCE.
证明二:如图,连结 AQ并延长交BC于S,连结ES.