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种类1与三角形相关的几何综合题
1.(2016·黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
如图1,若点D对于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;
(2)
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如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE=BD+CE;
(3)
如图3,若α=45°,点E在BC的延伸线上,则等式
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DE=BD+CE还可以建立吗?
请说明原因.
解:(1)∵D,F对于直线AE对称,
AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.∴∠DAF=2α=∠BAC.
ABAD
又∵AC=AF=1,
∴△DAF∽△BAC.
∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF.
BD=CF.
∴∠ACF=∠ABD=45°.∴∠ECF=90°.
DE=EF,
2
2
2
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∴DE=EF=EC+CF,
2
2
2
∴DE=BD+CE.
2
2
2
(3)等式DE=BD+CE建立,原因:将△CAE顺时针旋转90°,得△BAF.
BF=CE③,AF=AE.
∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,
222
∴∠FBD=90°,即DF=BF+BD④.
由旋转的性质,∠BAF=∠CAE,
∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α.
∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α.
又∵AF=AE,AD=AD,
∴△DAF≌△DAE即DF=DE⑤.
将③、⑤代入④式,得
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2
2
DE=BD+CE.
2.(2016·丹东)如图1,△ABC与△CDE是等腰直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连结AE,BD.
猜想PM与PN的数目关系及地点关系,请直接写出结论;
现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°<α<90°),获得图2,AE与MP,BD分别交于点G,(1)中的结论能否建立?若建立,请证明;若不建立,请说明原因;
(3)若图2中的等腰直角三角形变为直角三角形,使
BC=kAC,CD=kCE,如图
3,写出
PM与PN的数目关系,并加以证明.
解:(1)PM=PN,PM⊥PN.
结论PM=PN,PM⊥PN依旧建立.
证明:∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.
∴∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD.∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.
令AE与BC交于点O.
∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,∴∠BHO=∠ACO=90°.
∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,
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PM=2BD,PM∥BD;PN=2AE,PN∥AE.
PM=PN.
∴∠MGE+∠BHA=180°.
∴∠MGE=90°.∴∠MPN=90°.
PM⊥PN.
(3)PM=kPN.
证明:∵△ACB和△ECD是直角三角形,∴∠ACB=∠ECD=90°.
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE.∴∠ACE=∠BCD.
BCCD
BC=kAC,CD=kCE,∴==k.
ACCE
∴△BCD∽△ACE.∴BD=kAE.
∵点P,M,N分别为AD,AB,DE的中点,
11
∴PM=2BD,PN=2AE.
PM=kPN.
1
3.(2016·重庆B卷)已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,CD=2BC,DE⊥CE,DE
=CE,连结AE,点M是AE的中点.
如图1,若点D在BC边上,连结CM,当AB=4时,求CM的长;
如图2,若点D在△ABC的内部,连结BD,点N是BD中点,连结MN,NE,求证MN⊥AE;
如图3,将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转,使∠BCD=30°,连结BD,点N是
MN
BD中点,连结MN,探究的值并直接写出结果.
AC
解:(1)∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB=45°,
1
CD=2BC,
2
CD=BD=AD=2AB=22.
DE=CE,DE⊥CE,
2
DE=CE=2CD=2,∠DCE=45°.∴∠ACE=90°.
∵点M是AE的中点,
11
2
CM=2AE=2AC+CE=5.
延伸EN到NF,使NE=NF,连结BF,AF,
在△FBN和△EDN中,
FN=EN,
FNB=∠END,
BN=DN,
∴△FBN≌△EDN.
BF=DE=CE,∠FBN=∠NDE.∴∠ACE=90°-∠DCB,
∠ABF=∠BDE-∠ABN=∠180°-∠DBC-∠DCB-∠EDC-∠ABN=180°-(∠DBC+∠ABN)-45°-∠DCB=90°-∠DCB.
∴∠ACE=∠ABF,∴△ABF≌△ACE.∴∠FAB=∠EAC.∴∠FAE=∠BAC=90°.∵MN∥AF,∴MN⊥AE.
MN7
=.
AC4
4.(2016·沈阳)在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,获得△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连结BD,BE.
如图,当α=60°时,延伸BE交AD于点F.①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;③请直接写出BE的长;
在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连结CE,当∠DAG=∠ACB,且线段DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
解:(1)①∵证明:△ABC绕点A顺时针方向旋转60°获得△ADE,
AB=AD,∠BAD=60°.
∴△ABD是等边三角形.
②证明:∵△ABD是等边三角形,∴AB=BD.
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°获得△ADE,∴AC=AE,BC=DE.
又∵AC=BC,∴EA=ED.
∴点B,E在AD的中垂线上.
BE是AD的中垂线.
∵点F在BE的延伸线上,∴BF⊥AD,AF=DF.
BE=33-4.
(2)BE+CE=13.