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【复****要点】
1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。
(1)求解析式的一般措施:
①已知图象上三点或三对的相应值,一般选择一般式。
②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高(低)点等,一般选择顶点式。
③已知图象与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2,一般选择交点式 (不能做成果,要化成一般式或顶点式)。
(2)求交点坐标的一般措施:
①求与x轴的交点坐标,当y= 代入解析式即可;求与y轴的交点坐标,当x= 代入解析式即可。
②两个函数图像的交点,将两个函数解析式联立成方程组解出即可。
2、二次函数常用来解决最优化问题,即对于二次函数,当时,
函数有最值y= 。最值问题也可以通过配方解决,即将配方成,当时,函数有最值y= 。
3、二次函数的实际应用涉及如下方面:
(1)分析和表达不同背景下实际问题,如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。
(2)运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。
4、二次函数重要是运用现实情景或者纯数学情景,考察学生的数学建模能力和应用意识。
从客观事实的原型出发,具体构造数学模型的过程叫做数学建模,它的基本思路是:
【例题解析】
例1:如图1所示,一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮,球运营的路线是抛物线,,,然后精确落入篮圈,.
解析:由于抛物线的对称轴为y轴,故可设篮球运营的路线所相应的函
数体现式为(a≠0,k≠0).代入A,B两点坐标为(,),(0,).可得:.解得,因此,抛物线相应的函数体现式为.
反思:将实际问题转化为数学问题,建立合适的平面直角坐标系是解决问题的核心。建立坐标系的一般措施是尽量将某些特殊点,如起点、最高点等放在坐标轴上或作原点,这有助于问题的解决和协助计算。
例2:某星期天,小明和她的爸爸开着一辆满载西瓜的大卡车初次到某古城销售,来到城门下才发现古城门为抛物线形状(如图2所示).小明的爸爸把车停在城门外,仔细打量城门的高和宽以及自己卡车的大小,,城门底部的宽为6米,,,那么卡车能否顺利通过?
解析:欲知卡车能否顺利过城门,?可建立如图2所示直角坐标系,则A(,0),B(3,0),顶点C的坐标为(0,5),可设二次函数关系式为:
,把点B的坐标代入,得,,,则点D,E的纵坐标都是4,当时,,,从而,因此卡车不能通过城门.
反思:此题是一道常用的拱桥、拱洞等有关抛物线的实际问题应用题,坐标系的选择建立很核心,一般选择抛物线的底(顶)部水平线为x轴,对称轴为y轴,或直接选用最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题。
【实弹射击】
一、选择题
,再向上平移2个单位,所得图象的函数体现式是()
A. B. .
().

O
x
y
x=3
()
C. D.
,若点是它图象上的两点,则与的大小关系是()
A. B. C.
二、填空题
,,火箭达到它的最高点.
,则.
,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为.
.
“描点法”画二次函数的图象,取自变量的5个值,分别计算出相应的值,如下表:
…
0
1
2
…
…
11
2
2
5
…
由于粗心,小颖算错了其中的一种值,请你指出这个算错的值所相应的 .
三、解答题
(2,1).
(1)求证:;
(2)求的最大值;
(3)若二次函数的图象与轴交于点A(,0)、B(,0),△ABP的面积是,求的值.
,某中学要在教学楼背面的空地上用40米长的竹篱笆围出一种矩形地块作生物园,矩形的一边用教学楼的外墙,,面积为.
(1)求与的函数关系式,并求自变量的取值范畴;
(2)生物园的面积能否达到210平方米?阐明理由.
,当每个房间的房价为每天l80元时,,,(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范畴;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
,直角梯形OABC中,OC∥AB,C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交轴于E,D两点(D点在E点右方).
(1)求点E,D的坐标;
(2)求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式;
(3)过B,C,D三点的抛物线上与否存在点Q,使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形?若不存在,阐明理由;若存在,求出点Q的坐标.