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一、基础的一元二次不等式,可化为类似一元二次不等式的不等式
①基础一元二次不等式
如2x2-x-6<0,x2-2x-1>0,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式,重点关注解区间的“形状”。
当二次项系数大于0,不等号为小于(或小于等于号)时,解区间为两根的中间。
3
2x2-x-6<0的解为(- ,2)
2
当二次项系数大于0,不等号为大于(或大于等于号)时,解区间为两根的两边。
2,
x2-2x-1>0的解为(-¥,1- 2)È(1+ +¥)
当二次项系数小于0时,化成二次项系数大于0的情况考虑。
②可化为类似一元二次不等式的不等式(换元)
如3x+1-9x>2,令t=3x,原不等式就变为t2-3t+2<0,再算出t的范围,进而算出x的范围
又如x2>ax4+
3,令t=x2,再对a进行分类讨论来确定不等式的解集
2
序号
1
2
3
4
步骤
首先判定二次项系数是否为0,为0则化为一元一次不等式,再分类讨论
二次项系数非0,将其化为正的,讨论判别式的正负性,从而确定不等式的解集
若可以直接看出两根,或二次式可以因式分解,则无需讨论判别式,直接根据不同的参数值比较两根大小
综上,写出解集
③含参数的一元二次不等式解法步骤总结:
如不等式x2+ax+1>0,首先发现二次项系数大于0,而且此不等式无法直接看出两根,所以,讨论D=a2-4的正负性即可。
ì
ï
ïD<0,R
í
此不等式的解集为ïD=0,{xÎR|x¹-a}
ï 2
-a+ a2-4
ï -a- a2-4
ïD>0,(-¥, )È( ,+¥)
î 2 2
又如不等式x2-(a2+a)x+a3>0,发现其可以通过因式分解化为(x-a)(x-a2)>0,所以只需要判定a2和a的大小即可。
ï
ìa=0ora=1,{xÎR|x¹a}
ï
此不等式的解集为í0<a<1,(-¥,a2)È(a,+¥)
îa<0ora>1,(-¥,a)È(a2,+¥)
又如不等式ax2-2(a+1)x+4>0,注意:有些同学发现其可以因式分解,就直接写成
(ax-2)(x-2)>0,然后开始判断两根2和2的大小关系,这样做是有问题的。
a
事实上,这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式,所以参数a是有可能为
0的。讨论完a=0的情况再讨论a<0和a>0的情况。所以此不等式的解集应该是:
ìa=0,(-¥,2)
ï
ïa<0,(
ï
2,2)
a
í
ïa>1,(-¥
ï
2
,a)
È(2,+¥)
ïa=1,{xÎR|x¹2}
ï
ï
ï0<a<1,(-¥,2)È(2
î a
,+¥)
注意,a>0和a<0时解区间的状况不同,一种为中间,一种为两边。二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式
这种问题的一般形式是(x-a)(x-a
)(x-a
)...(x-a
)<0(或>,£,³)
步骤:
1 2 3 n
①将不等式化为标准式,一段为0,另一端为一次因式的乘积(注意!系数为正)或二次不可约因式(二次项系数为正)。
②画出数轴如下,并从最右端上方起,用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。
③记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集。
例如,求不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>0的解集,画出图如下,发现解集为
(-¥,1)È(2,3)È(4,+¥)
2
1
O
11
22
33
44
5
6
为什么数轴标根法是正确的呢?对于不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)>0来说,要满足四项相乘为正,说明①四项均正,解集为(4,+¥)②两正两负,只能是(x-1),(x-2)正,(x-3),(x-4)负,此时解集为(2,3)③四项均负,解集为(-¥,1)。综上,解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。
由此可知,遇到奇数个一次项系数为负的情况,如果不把系数化为正的,结果一定是错误的。
注意,这种方法要灵活使用,若不等式为(x-1)2(x-2)(x-3)(x-4)>0,使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样,因为
(x-1)2是偶次项,必然非负,所以在“穿针引线”时,可以忽略,或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。
(x-1)2(x-2)(x-3)(x-4)>0的示意图见下。
O
1
2
3
4
三、解分式不等式
分式不等式的解题思路,前面讲了一些不等式的求解,都是讲不等式的一边化为0,另
一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理,最终总能化为f(x)<0(或
g(x)
,£,³的形式),此时解f(x)g(x)<0就可以解出原不等式的解集。
特别地,若要解
f(x)£0,则解ìf(x)g(x)£0即可。
î
g(x)
íg(x)¹0
例如 2x-8
x2-x-6
£1,移项化简得x2-3x+2³0,使用穿针引线法得到解集为
x2-x-6
{x|x<-2或1£x£2或x>3},一定要注意分母不为零,而分子可以为零。
例:一道比较复杂的题,求a(x-1)>1(a¹1)的解集,现写出此题的完整解题过程。
x-2
解:原不等式通过移项通分可化为(a-1)x-(a-2)>0,由于a¹1,所以可以进一步化
x-2
(a-1)(x-
为
a-2
)
a-1 >
0,两根为a-2和2。
x-2 a-1
当a>1时,解集为两根的两边,显然有a-2<2,所以此时解集为(-¥,a-2)È(2,+¥)
a-1 a-1
当a<1时,解集为两根中间,此时必须根据a的取值判断两根范围。
①当0<a<1时,a-2>2,此时解集为(2,a-2)
a-1 a-1
②当a=0时,a-2=2,此时解集为Æ
a-1
③当a<0时,a-2<2,此时解集为(a-2,2)
a-1 a-1
至此,a的所有值都讨论完毕,所以这道题讨论到这样就结束了
当然,如果这道题不给a¹1的限制条件,只需要再讨论一下a=1时的解集情况即可。补充内容:一类经典但易错的分式不等式问题
①求1>1的解集
x
②求1<1的解集
x
③求1<-1的解集
x
④求1>-1的解集
x
⑤求-3<1<2的解集
x
解答:①(0,1)②(-¥,0)È(1,+¥)③(-1,0)④(-¥,-1)È(0,+¥)⑤(-¥,-1)È(1,+¥),注
3 2
意①②的区别
四、绝对值不等式
对于含有绝对值的不等式,解题思想为
①直接脱去绝对值符号
f(x)<g(x)Û-g(x)<f(x)<g(x),f(x)>g(x)Ûf(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
②构造函数,数形结合
③在不等式的一端有多个绝对值时,使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)
④平方法(不等式两边都是非负时才能用,慎用)
1
x
1
x
例:图形法某经典问题,解不等式1- <a,先画出f(x)=1- 的图像如下,然后分类讨论a的取值,通过观察y=f(x)和y=a的图像,来确定不等式的解集情况。
4
f(x)=1
1
x
3
g(x)=1
2
1
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
1
2
①当a£0时,y=f(x)的图像在y=a的图像上方,除了点(1,1),此时显然不等式无解
②当a=1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点为
1 1
( ,1),此时的解集为( ,
+¥)
2 2
③当0<a<1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标为 1 , 1 ,此时解集为
( 1 , 1 )
1-a1+a
1+a1-a
④当a>1时,y=f(x)的图像与y=a的图像交点横坐标为 1 ,
1 ,此时解集为
(-¥, 1
),(
1 ,+¥)
1-a1+a
1-a 1+a
当然此题使用f(x)<g(x)Û-g(x)<f(x)<g(x)也可以做,化成-a<1-1<a,只是在
x
讨论的时候需要细心,考虑到a的所有取值。
绝对值不等式的零点分段法,以及特别的做题技巧
例如x-1+x+2³5,发现不等号左边有两个绝对值,所以应该根据两个不同的零点
分段讨论
①当x³1时,原不等式化为2x+1³5,解得x³2
②当-2£x<1时,原不等式化为3³5,显然无解
③当x<-2时,原不等式化为-1-2x³5,解得x£-3
综上,原不等式的解集为三种情况下的并集(注意,为什么是并集而不是交集?),
(-¥,-3]È[2,+¥)
技巧:可以将绝对值看成距离,也就是将x-1看成数轴上点x到点1的距离,将x+2
看成x到-2的距离,若画出数轴,发现位于区间[-2,1]的点(绿色点)到区间端点的距离之和为3,位于区间[-2,1]之外的点到区间端点的距离之和大于3,特别地,在2处和-3处距离之和为5
,所以令x继续远离区间[-2,1],发现距离之和大于5。
2
-2 1
也就是说x-1+x+2的取值范围是[3,+¥]
同理,遇到减号的情况,例如x+3-x-1,发现其取值范围是[-4,4]
此技巧常用于填空题,既可以求不等式解集,又可以求参数的范围。
例1:若存在实数x使得不等式x+1+x-a£1成立,则a的取值范围是 ?(答案
[-2,0])
例2:不等式x+2-x-1£2的解集是 ?(答案(-¥1 )
, ]
2
五、无理不等式
无理不等式能出的考题较少,主要是要注意偶次根号下式子要非负。(终于可以用平方法了,但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用)。
对于奇次根号,由于不需考虑根号下式子的正负性,直接打开根号即可。
f(x)
ìg(x)<0 ìg(x)³0
î î
>g(x)Ûíf(x)³0或íf(x)>[g(x)]2(注意这里为什么没有写f(x)³0?)
ï
ìg(x)>0
f(x)
<g(x)Ûíf(x)³0
î
ïf(x)<[g(x)]2
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