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教学内容:充足条件与必要条件
【基本知识精讲】
对于命题“若p则q”,即p是条件,q为结论.
(1)如果已知pq,我们就说p是q的充足条件,q是p的必要条件.
例如,“若x=y,x2=y2”是一种真命题,可写成
x=yx2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充足条件,
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有pq,又有qp,就记作
pq.
这时,p既是q的充足条件,又是q的必要条件,我们就说p是q的充足必要条件,简称充要条件.
例如,命题p:x+2是无理数,
命题q:x是无理数.
由于“x+2是无理数”“x是无理数”,因此p是q的充要条件.
充足条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,重要是用来辨别命题的条件p和结论q之间的下列关系:
①若pq,但qp,则p是q的充足但不必要条件;
②若qp,但pq,则p是q的必要但不充足条件;
③若pq,且qp,则p是q的充要条件;
④若pq,且┒p┒q,则p是q的充要条件;
⑤若pp,且qp,则p既不是q的充足条件,也不是q的必要条件.
若条件p以集合A的形式浮现,结论q以集合B的形式浮现,则
①若AB,则p是q的充足条件;
②若AB,则p是q的必要条件;
③若A=B,则p是q的充要条件;
④若AB,且AB,则p既不是q的充足条件,也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考措施,可以进一步加深对充要条件的理解.
,必要条件,充要条件时须注意的问题.
(1)充足而不必要条件,必要而不充足条件,充要条件,既不充足也不必要条件,反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意如下几点:
①拟定条件是什么,结论是什么;
②尝试从条件推结论,结论推条件;
③确立条件是结论的什么条件;
④要证明命题的条件是重要的,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立,证明原命题即证明条件的充足性,证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.精确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的.
【重点难点解析】
本小节重点是充足条件、必要条件、“若p则q”命题中,p是q(或q是p)的什么条件的判断问题.
一方面要注意“条件”和“结论”“pq”中p和q都可觉得是条件(或结论),,充足条件和必要条件是同步定义的,亦即对“pq”而言,p是q的充足条件,同步q是p的必要条件.
例1请在下列各题中选出(A)充足不必要条件,(B)必要不充足条件,(C)充足必要条件,(D)既不充足也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空:
(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的.
(2)p∶x>5是q∶x>3的.
(3)p∶0<x<5是q∶|x-2|<3的.
(4)p∶x≤2是q∶x<2的.
解:(1)p={x|(x-1)(x+2)=0}q={x|x=-2},即qp,∴填B.
(2)p={x|x>5}q={x|x>3},∴填A.
(3)p={x|0<x<5q={x||x-2|<3},∴填A.
(4)p={x|x≤2}q={x|x<2,∴填B.
评析对于波及范畴问题的充要条件的判断,可运用集合观点:pq时,“小范畴推出大范畴”协助记忆.
例2是的什么条件?并阐明理由.
解:但反之却不一定成立.
例如取α=1,β=5,显然满足
但不满足因此是的必要但不充足条件.
评析此例中由于
但不能推出因此根据箭头推出方向可知是的必要但不充足条件.
例3已知p∶x2-8x-20>0,
q∶x2-2x+1-a2>0.
若p是q的充足而不必要条件,求正实数a的取值范畴.
分析运用数轴观测,能找到解题途径.
解:p∶A={x|x<-2,或x>10},
q∶B={x|x<1-a,或x>1+a,a>0
如图,依题意,pq,但q不能推出p,阐明AB,则有
解得0<a≤3.
∴实数a的取值范畴是0<a≤3.
例4设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},M={Z|Z=x2,x∈A}.求使MB的充要条件是什么?
解:∵A={x|-2≤x≤a},M={Z|Z=x2,x∈A}.
∴B={y|y=2x+3,x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}.
当-2≤a<0时,M={Z|a2≤Z≤4}.
当0≤a≤2时,M={Z|0≤Z≤4}.
当a>2时,M={Z|0≤Z≤a2}.
∴当-2≤a<2时,
MB4≤2a+3,即≤a≤2;
当a>2时,
MBa2≤2a+3,即2<a≤3.
综上可知,所求的充要条件为≤a≤3.
【难解巧解点拨】
例1已知条件p∶ab≠0,a+b=1;条件q∶ab≠0,a3+b3+ab-a2-b2=:p是q的充足必要条件.
证明:①先证充足性成立:
∵ab≠0,a+b=1,即b=1-a,
∴a3+b3+ab-a2-b2
=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2
=0
②再证必要性成立:
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0.
a3+b3+ab-a2-b2=0,
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.
∵a2-ab+b2≠0,
∴a+b=1.
由①、②知,p是q的充足必要条件.
评析注意,证明充足必要条件,:
(1)原命题和否命题都成立;
(2)逆否命题和逆命题都成立;
(3)逆否命题和否命题都成立.
这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,措施更灵活,复杂问题简朴化.
例2选择题
已知条件p∶x+y≠-2,q∶x,y不都是-().
分析由四种命题中,原命题逆否命题,逆命题否命题,可知判断p能否推出q,等价于判断q能否推出p;判断q能否推出p,等价于判断q能否推出p.
解:p∶x+y≠-2,q∶x≠-1或y≠1.
p∶x+y≠-2,q∶x≠-1且y≠1.
∵qp,但pq.
∴p是q的充足而不必要条件,选A.
评析注意,pq,要给以证明;而pq,只需举一反例阐明.
在上例中,要证明或者阐明p与q的关系比较困难和抽象,而证明qp很容易:由x=-1且y=-1,即有x+y=-2;阐明pq也很容易:设x=-5,y=3,有x+y=-2,但x≠-1,y≠-1.
这种等价转换换的思想也是一种重要的数学思想措施,它几乎贯穿在整个数学学****过程中,要注意掌握好它,并逐渐灵活运用它发明性地解决某些数学问题.
例3判断下列各题中条件是结论的什么条件:
(1)条件A∶ax2+ax+1>0的解集为R,结论B∶0<a<4;
(2)条件p∶AB,结论q∶A∪B=B.
错误分析:此类题的易错点是在用定义判断时,忽视了无论是AB,还是BA均要认真考虑与否有反例,这一点往往是判断充足性和必要性的核心,(1)题中,往往根据二次不等式的解去考虑此题,而忽视了a=0时原不等式变为1>(2)题中同样容易忽视A=B这一特殊状况.
解:(1)∵△=a2-4a<0,即0<a<4
∴当0<a<4时,ax2+ax+1>.
而当a=0时,ax2+ax+1>0恒成立,∴AB.
故A为B的必要不充足条件.
(2)∵ABA∪B=B,
而当A=B时,A∪B=B,即qp,
∴p为q的充足不必要条件.
【课本难题解答】
课本复****参照题B组第6题
提示:当a=0时,原方程变形为一元一次方程2x+1=0,有一种负根x=-
当a≠0时,原方程为一元一次方程,有实根的充要条件是△=4-4a≥0即a≤1
设方程ax2+2x+1=0(a≠0)的根是x1x2,由x1+x2=-,x1x2=.
可知方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一种负的实数根的充要条件是
a≤1
<0即a<0
方程ax2+2x+1=0(a≠0)有两个负的实数根的充要条件是
a≤1
-<0 即0<a≤1
>0
综上所述,ax2+2x+1=0至少有一种负的实数根a≤1
评析本题也可以用排除法求解.
【命题趋势分析】
重要考察:在理解并掌握四种命题及其关系的基本上,会用反证法证明.
平时规定:
【典型热点考题】
例1选择题
设全集S={(x,y)|x、y∈R},M={(x,y)|=1},N={(x,y)|y≠x+1},那么Cs(M∪N)等于().
A. B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x+1}
分析本题考察集合的概念与运算,以及分式性质与一次函数的图像.
解:集合N表达整个直角坐标系中去掉直线y=x+1后的所有点.
由=1,得y=x+1(x≠2).
集合M表达直线y=x+1,去掉点(2,3).
集合M∪N表达直角坐标平面上所有点,但去掉点(2,3).
∴Cs(M∪N)表达仅含点(2,3)的单元素集合{(2,3)}.应选B.
例2选择题
设甲、乙、丙是三个条件,如果甲是乙的必要条件;()
,但不是甲的必要条件
,但不是甲的充足条件
,也不是甲的必要条件
分析本题考察充足条件与必要条件的概念.
解:依题意,画出图.
不难看出,丙甲,但甲丙.
∴丙是甲的充足条件,但不是甲的必要条件,应选A.
例3(1998年江西)已知p∶|2-|>,q∶x2+x-3<.
分析本题考察具有绝对值的不等式、一元二次不等式的解法,考察充足条件和必要条件的概念.
解:p、q可转化为
p∶{x|x<,或x>},
q∶{x|-6<x<}.
∴p∶A={x|≤x≤},
q∶B={x|x≤-6或x≥}.
观测图知,AB.
∴p是q的充足但不必要条件.
评析用集合的观点研究充足条件和必要条件有时的确很以便.
例4设命题甲为“0<x<5”,命题乙为“|x-2|<3”.那么()
,但不是乙的必要条件
,但不是乙的充足条件
,也不是乙的必要条件
分析与解:不等式|x-2|<3的解是-1<x<5,显然,当x满足0<x<5时一定满足-1<x<=--1<x<5,但不满足0<x<5,即甲乙,.
∴应选A
【同步达纲练****br/>一、选择题
1.“A∩B=A”是A=B的().
().
A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充足条件
>4是x2>2的必要条件
C.|x+1|<1是-2<x<0的充要条件
D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件
∶|x+1|>2;条件q∶x2<5x-().
,B是C的充足条件,则A是C的()
5.“0<x<5”是“|x-2|<3”的()
6.“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的()
二、填空题
(从“充足而不必要条件”、“必要而不充足条件”、“充要条件”、“既不充足也不必要条件”中选出合适的一种填空)
“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的.
>4,b<5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴,交x轴于正半轴的 .
.
三、解答题
,阐明p是q的“充足而不必要条件”、“必要而不充足条件”、“充要条件”、“既不充足也不必要条件”,并阐明理由.
,A={x||x-3|>6},B={x||x|>a,a∈N+}.当a为什么值时.
①A是B的充足而不必要条件;
②A是B的必要而不充足条件;
③A是B的充要条件.
ax2-ax+1>0
对一切x∈R都成立的充要条件是什么.
∶x∈Z,y∈Z,m=x2-y2;