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解三角形知识点题型总结
,判断三角形形状类。
适用范围:任意三角形
公式:(为三角形外接圆半径)。
作用:
求角,求边(出现角及其对边)
边角互化:边化角:角化边:
正弦定理主要运用于等式和分式中的边角互化。互化原则:等式中或分式中出现关于边的齐
次式或出现角的正弦值的齐次式,可直接将角的正弦值换为其对应的边或边换为对应角正弦
值。
边角互化在题目中等式的处理运用得比较频繁,一定要熟练掌握。
公式:(角两边及其对边)
运用:
公式可恒等变形为:
当题目中出现,也便于使用均值不等式
变形:
运用:这是一个二次分式齐次式,所以已知均可求出
此公式可以根据边的大小关系(角两边及其对边)判断角是钝角还是锐角
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三角形三角关系:(隐含信息)
运用:,
三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
在
坐标表达式:
外接圆半径
(任意三角形)
直角三角形:
等边三角形:
内切圆半径
(任意三角形)
直角三角形:
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等边三角形:
三:解题常见情景
三角形中线定理:
处理方式(1):中位线,倍长中线,中线向量
处理方式(2):补角
设
得
得
两式相加即得中线定理。
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角平分线性质:
斯库顿定理:
证明:过点作平行线用相似。
或等面积法
注:等面积法的常见处理方法
设,且有
即
类型一:已知一边及其对角
在中,
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求等的范围
注意:从边的角度入手,需要特别小心隐藏的限制条件(任意两边之和大于第三边,任意两
边之差小于第三边,锐角三角形等)。
从角的角度入手需要做好两件事,一是利用三角形内角和关系统一变量,二是解出变量角的
范围。
例1:在中,,求该三角形周长的范围。
方法一:余弦定理+均值不等式
所以
又因为,所以
方法二:正弦定理+三角函数
,则有
在根据可求出范围。
变式:在锐角中,,求该三角形周长的范围。
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此类题一种技巧:由可知三角形外接圆可以确定,则可以画辅助圆观察求其
范围。
在圆上移动点坐标得一系列线段的范围(所用知识:同
弦所对圆周角相等)
对应练****br/>,
类型二:四边形中对角线相关问题
托勒密定理的运用:在凸四边形中,有
(当四边形为圆内接
四边形时取等)
定理运用:但题目中出现四边形且涉及对角线,可不妨一
试。
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,
,
。
方法一:解:
解得.
方法二:,在三角形中,由正弦定理
,由余弦定理得
可得,在由余弦定理
在三角形
化简得
将上式代入得:<br****题:
1.,,
2.,
阿波罗尼斯圆:在平面上给定相异的两点,设点在同一平面上且满足
时的轨迹为圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆。
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解:以。
,设,
整理得:,
例4.
解析:易
得
。
例5.
解:不妨设
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,在
,
可得<br****题:
,
,可切化弦,也可作高转化为边。
例6.
方法一:
所以。
。
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方法二
,
由正弦定理可知,
故
,
解:以建立平面直角坐标系,
不妨设,
补充例题:;利用三角函数有界性确定角的值
例8.
解析:,即
后略。
例9.
由正弦定理
由余弦定理:,
所以(后不赘述)
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