文档介绍：概念与意义
量纲分析与无量纲化
量纲分析法
计算模拟
量纲:撇开单位的大小,表征物理量的性质和类别。
——“质”的表征。
物理量的量纲
长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
基本量纲
(动力学中L, M, T)
速度 v 的量纲[v]=LT-1
导出量纲
加速度 a 的量纲[a]=LT-2
力 F 的量纲[F]=LMT-2
几何学量纲:= 0,0,=0
运动学量纲:= 0,0,0
动力学量纲:0,0,0
分类
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
对无量纲量q,[q]=1(=L0M0T0)
无量纲量:
量纲公式
两个具有相同量纲的物理量相比;
几个有量纲物理量乘除组合,使组合量的量纲指数为零。
(1)无量纲量的大小与所选单位无关,具有客观性:
凡有量纲的物理量,都有单位,同一物理量,因选取的度量单位不同,数值也不同,运动方程式的计算结果会受人主观选取单位的影响;
(2)不受运动规律的影响:
无量纲量是常数,数值大小与度量单位无关,也不受运动规律的影响;
(3)可进行超越函数运算:
由于有量纲量只能做简单的代数运算,做对数、指数、三角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式:
意义
研究方法
量纲分析法
概念与意义
量纲分析与无量纲化
方法一:瑞利法(Rayleigh) ——量纲和谐原理的直接应用
1、确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量;
2、写出各物理量之间的指数乘积的形式,如:
3、根据量纲和谐原理,即等式两端的量纲应该相同,确定物理量的指数a,b,……p,代入指数方程式即得各物理量之间的关系式。
具体分析步骤:
如图所示,质点做单摆运动,求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量:m, l, g ,即
1, 2, 3 为待定系数,为无量纲量
(3)写出量纲式
对比
(2)写出指数乘积关系式
(4)以基本量纲表示
(5)根据量纲和谐原理
例题一:
l
mg
m
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
例题一:
一般情况下,瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个,待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时,需要归并有关物理量或选待定系数,以求得量纲指数。
若某一物理过程包含n个物理量,即
其中有m个基本量(量纲独立,不能相互导出的物理量)
则该物理过程可由n个物理量构成的(n-m)个无量纲项所表达的关系式来描述,即
定理是量纲分析更为普遍的原理,由美国物理学家布金汉提出:
方法二:布金汉(Buckingham)定理(定理)
(1)确定关系式:根据对所研究的现象的认识,确定影响这个现象的各个物理量及其关系式
(2)确定基本变量:从n个物理量中选取m个基本物理量
可以把它看成是m维空间的正交基矢,则就是矢量ln[q]在各个基矢量上的投影。则物理量q的“量纲”可以记做:
定理的解题步骤
如:一般取m=3,取基矢量q1、 q2、 q3
满足基本量量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于0
(3)基本变量依次与其余物理量组成(n-m)个无量纲项(项),即
将其写出分量的形式:
定理的解题步骤
(4)满足π为无量纲项,
定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
(5)整理方程式,写成相应无量纲的形式
0
-2
-2
0
1
-2
-1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
l
mg
m
例:将质点悬挂在劲度系数为k的弹簧下端,将质点从未伸长的弹簧下端由静止释放,求弹簧长度x随时间t的变化。
0
(1)牛顿运动方程:
(2)涉及的所有物理量的量纲
初始条件为:
例题二: