张量分析作业.doc

文档介绍：张量分析中简化记法在公式推导中的应用
摘要:张量分析在计算力学中应用广泛,但其理论比较复杂,较难掌握和熟练运用。为此,给出了张量简化记法,这种记法与Fortran程序中或商业软件Matlab中的数组形似。将简化后张量的表达式应用于公式推导,可快速准确地得出结论。
关键词:张量分析;张量积;简化记法;矩阵的矢量化;张量分量
张量分析由于表达简洁,在力学及其它一些领域中应用极为普遍。但对不太熟悉张量的读者的方法,使稍有一点张量基础的人都能进行公式推演和分量计算,意义无疑很大。在张量运算过程中主要是张量的积运算,只要弄清楚张量的积运算,其他运算如导数运算及谱分解等,就变得非常简单。因此本文主要针对张量积运算进行探讨。文中就张量的积运算推演,张量分量的计算这两个主要问题进行了分析,提出简化记法以简化公式推导;并引入矩阵的矢量化概念(也叫矩阵的拉直操作),将高阶张量分量直观表示为矩阵形式,使得分量运算化成矩阵运算,从而简化了张量的简洁表示下的复杂内涵。拉直操作对数值计算的指导意义可参见文献[5,6]。文中采用nskov在文献[1]中的内积定义形式,并简单讨论了和文献[10]中定义的异同点。
1 基本记号和定义
二阶,四阶张量
(1)
(2)
(3)
转置规则
(4)
(5)
内积
张量积
并积:
围积:
缠绕积:
2 张量表达式证明技巧
等价的简化记号
等价的记号运算
其中

例1. 己知:二阶张量A,B,C, 四阶张量P,利用以上记号证明如下命题
证明:利用式(12),式(13),记:
并利用式(6),式(16),将上式简化标号带入式(17)中的左右两侧,有:
比较式(18),式(19),可知结论成立。
简化后,指标明显简洁,运算时按照没简化前的规则进行。同时,分量在计算过程中并不改变指标位置。内积运算时,会产生( i