文档介绍：数学建模的指标量化问题
数学建模本身是一个量化过程,如何利用数学的方法刻画重要的量是数学建模的非常关键的问题。
在数学模型课程中,我们接触过许多指标量化问题。
例1:椅子能否在不平的地面上放稳
指标:放稳如何定量描述?
开始没有放稳,晃一晃就稳了。晃一晃如何描述?
例2:公平席位分配问题
问题是分析各部门代表如何分配,才符合公平原则。这里的主要指标是公平,如何对公平这个指标进行量化的问题。
数学规划问题的量化指标:目标函数
我们需要求一个指标的最优问题。
定量的问题的指标有些是容易确定的,如工厂的生产利润,人的体重等。
有些需要巧妙地利用数学工具进行设计。如下雨的淋雨量,人口的平均寿命等。
有些问题涉及到某些介于定量和定性之间的量,如客户的满意度,国家的竞争力,服务业的服务水平等。这些问题需要我们设计新的评价体系。
多数实际问题和竞赛题目都涉及到指标的评价问题。不少竞赛题目本身就是指标评价。如
2010
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
D题对学生宿舍设计方案的评价
2008
D题 NBA赛程的分析与评价
等。
评价的核心是建立评价指标。大量的问题中,评价指标的建立具有画龙点睛的作用。如在数学建模课本上的公平席位问题,其核心是公平的度量指标的引入。
CUMCM02B 彩票中的数学
近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组09号球中摇出6个基本号码,每组摇出一个,然后从04号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码(可重复),从04中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码"abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。
表1
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元,各高项奖额的计算方法为
[(当期销售总额x总奖金比例)—低项奖总额]x单项奖比例
(1)这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。
(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出建议。
(3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。
问题分析:
粗略的分析,本问题给出了2种不同的彩票(33选7和27选6+1),请你综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。并设计一种“更好”的方案及相应的算法。
关键是什么? 评价指标!什么是好?利用什么样的尺子去度量不同彩票的好坏?怎样利用数学工具把这些指标量化?
对上述问题,一般来讲,评价彩票的指标一般有两个:
第一个指标:公平性指标:
作为一种博弈,奖金的多少与风险的大小对应。
(对比:在麻将中,番数大的局往往成的概率小。)
设有7种不同奖项,第i种奖项的中奖概率为pi,奖金数xi,则最公平的分配为
问题:如果是打麻将设置各种局的番数,公平性是主要指标。但是,在买彩票时,人们并不关心公平性,主要出于一种***心理。因此还要有描述这种***心理的指标。
第2个指标:***心理指标
在数学模型课程中,我们曾经给出心理指标的分析,如在实物交换中,给出满意度的描述和无差别曲线的概念。但实际上对心理学问题的定量是困难的。但由于***是一个热点问题,人们给出了大量的研究,给出了一些指标模型。我们可以直接引用。例如
其中t是单注的收益率