计算方法第六章(迭代法).ppt

文档介绍：第六章迭代法
第一节
非线性方程求根
( )
1、二分法
利用连续函
数的性质进
行对分。
计算框图为:
压缩映射:
集合 A 上的映射, A 上两个点之间的距离记为,如映射满足下面条件,称为压缩映射
例:设函数满足: ,则该函数为压缩映射
定理:如果为闭集合 A 上的压缩映射,则方程 x =(x) 在集合 A 上有唯一解。且解可以用下面迭代得到:
2、简单迭代:
对于形如的方程,可以通过迭代求解。
定理: 满足下面条件时,为压缩映射:
(1)当时,
(2)存在正数 L < 1,使得
则方程在区间上有唯一解,且解可以用下面迭代得到
例:在区间[1,)上求解方程
可用迭代法求解,迭代序列
误差估计:第k步迭代计算值与精确值误差为
使用迭代法求解方程值得注意的事项:
1、将要求解的方程化成的形式。
2、该迭代法第一个条件不易验证。因此,实际使用时,总在根的附近区间内进行迭代计算,以保证每次迭代的值都在迭代区间内。
3、L很小时迭代收敛非常快,但如果L与1很接近,则收敛相当慢。
收敛阶:
定义:设,如果存在实数 p 和非零常数 c,使:
则称序列 p 阶收敛,特别,p=1时,称为线性收敛,p > 1 时,
称为超线性收敛,p=2时称为平方收敛。
p 越大,序列收敛越快。如果是线性收敛,则 0 < c < 1
加速收敛技术:
1、松弛法
选择适当的常数(松弛因子),令