文档介绍：数学归纳法(一)
一、引入:归纳法实际上是常用的演绎推理,
归纳法有两种:完全归纳和不完全归纳。
(1)什么叫完全归纳呢?比如我说“甲乙丙丁这四个人的身高都超过一米八”。我怎么来证明我句话是对的?我只要把甲乙丙丁这四个人叫过来,量一下确实都超过一米八。就证明我的结论是对的。这种方法就是完全归纳,实际上就是:去考查结论中的每一个对象,看每一个对象是不是都符合我这个结论。都符合了结论自然成立。
(2)什么叫不完全归纳呢?举例:
已知蛇是用肺呼吸的,
鳄鱼是用肺呼吸的,
海龟是用肺呼吸的,
蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。这是否为完全归纳?
这个就是不完全归纳:利用我们所能掌握的个别个对象的信息,推断出全部对象的结论。他有可能是错的。这两种方法都有缺点,如何克服呢?看下面例子我这有一个关于自然数的结论:,怎样去证明这个论述是对的呢?
想法一:用完全归纳法,把所有的自然数都写在这里,然后逐一验证:当时,左右看看发现成立,下一个时成不成立?再下一个时成不成立…
一直到把所有自然数验证完了,就说这个结论对于所有自然数成立。
请问一下我们有办法这样做吗?没办法这样做,因为自然数有无穷无尽,我怎么可能把所有自然数都验证一遍呢?这时就出现了一个关键问题:在数学的世界里面,很多结论都是针对“无穷对象”的:某某结论对于所有整数都成立,某某公式对于所有自然数都成立,某某公式对于所有大于等于6的偶数都成立……这时候我们没有办法使用完全归纳法,就是说我们没有办法把里面的所有对象都取出来一个个验证。这时候数学家就想:自然数是什么呢?请注意,在人类的大脑中,我们从来没有办法把自然数全部同时想在我们的大脑中。我唯一能够做的是什么?我唯一能够做的是从一开始数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,1亿(),1兆()、1京()、1垓()、恒河沙,不断地向下数,但是我们也知道:在自然是里面无论我们数到哪一个数n,一定还能找到它后面的一个数n+1出来。这是我们对自然数的界定.
基于自然数的这个特征,找到了证明这类问题的一种方法:
证明与自然数有关的命题P(n),只要它满足两条公设就可以
i当时,P(1)成立
ii假设时,成立
则时,也成立
任何一个结论,只要它满足了以上这两个公设,它都可以跑遍每一个自然数。而无需一个个验证了。这个过程是怎么发生的?下面我们来看多米诺骨牌,想一想:要想全部倒下,需要什么条件?用不用我亲手一个一个把它放倒吗?要想让它全部倒下我们只需做两件事:
i 亲手让第一个倒下 ii保证第k个倒下能引起第k+1个倒下。
只要具备了这两个条件,证所有骨牌都会倒下?
两条公设正是利用了这个原理,要想证明命题P(n)对所有自然数都成立,
首先去验证时P(n)成立,这相当于骨牌实验中的第一步;然后去保证“成立能引起成立”这相当于骨牌实验中的第二步。
二、数学归纳法:
要证明一个与自然数n有关的命题,常采用如下方法:
(1)验证当n初值n0 时命题成立;(初值验证)注意:这里所说的初值不一定是1,根据题目要求而定
(2)假设当n=k时命题成立;(归纳假设)
证明当n=k+1时命题也成立。(归纳证明)
简单地说,就是用“n=k时命题成立”来证“n=k+1时命题