文档介绍：量纲作业
整理:夏伟光
1、量纲是否就是单位?两者有何关系。
答:量纲不是单位。量纲表示物理量的基本属性。不同属性的物理量具有不同的量纲。单位是用来对物理量度量的标准。
2、“Dimension”一词有什么涵义(从中看出其演变)
“Dimension”开始有“维数”的意思;后有“长度,尺寸”的意思,指运动学、几何学上的概念;后来出现“量纲”的涵义,用来表示物理量的基本属性。
3、自由落体问题中,什么是基本量和导出量,单位系统如何选择,选法是否唯一?
答:自由落体问题中含有三个变量:下落行程h,下落时间t,重力加速度g。可以以h,g为基本量,t为导出量,以h,g为单位系统,也可以选t,g为基本量,h为导出量。t,g为单位系统,选法不唯一。
4、从物理上分析摆锤质量为何与单摆周期无关。
答: 对于一个单摆,当摆长一定时,摆球的位置由摆角确定,摆球的运动由重力加速度g决定,摆球的运动是一个纯运动学的问题,与摆球的质量无关,所以摆球的周期与摆球的质量无关。
5、什么是谐振子,求自然频率。
答:把振动物体看作不考虑体积的微粒,这个振动物体称作谐振子。所谓谐振,在运动学就是简谐振动,该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置(叫平衡位置)进行运动,在这个振动形式下,物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比,并且受力方向总是指向平衡位置。
自频率f与弹性系数k,微粒质量m有关。所以
取m,k为基本量并作单位系统,所以
6、把π定理和有的书上说的相似三定理进行比较,分析说明哪个更本质?
答:相似三定理:
相似第一定理:彼此相似的现象其同名各相似准则数值相同。
相似第二定理:现象的各物理量之间的关系,可化为相似准则的关系。
相似第三定理:如两个现象单值条件相似,而且由单值组成的各相似准则数值相同,则两个现象相似。
相似三定理与π定理相比,显然π定理中各表示由其单位组成的无量纲量,而这些无量纲量即是相似三定理中的“同名相似准则”,显然,对于同一个函数f,f内各无量纲量值相同后,f值也必定唯一,即相似三定理中的“同一类现象、单值条件相似”等条件。
(1)相似第一定理:即π定理中若两个现象具有相同的函数
,则其无量纲量数值相同。
(2)相似第二定理:即π定理中一个物理现象,因变量a是n个自变量的函数,即,取作为单位,将因变量a无量化为,即无量纲化因变量是个无量纲化自变量的函数。
(3) 相似第三定理:即π定理中两个现象的各无量纲量数值相同,且函数f形式相同,则f值也必定唯一。
相似三定律这么复杂的表述,用π定理一句话就能得到,显然π定理更本质。
7、用隐函数证明π定理。
答:把物理问题的一个因变量和N-1个自变量统一视作变量,其总数是N。记作,则可将物理规律表示为
不妨取前k个变量,它们是,其量纲分别为。后面N-k变量是导出量,其量纲可表示为基本量的量纲的幂次式:
用基本量作为单位系统,来度量其余量,由此得到的量值都是无量纲的纯数,它们满足的关系是:
上式后面N-k个为对F起作用的无量纲因变量,记为,
因此函数关系可写为
8、推导物理量量纲的幂次表达式的最后一步。
答:
两边积分得:
所以
由于
而的取值也具有任意性,可取
可得:
代入(1)式可得:C=1,所以
可见,与之相对应,物理量X的量纲表示式应为
9、盛水容器底侧小孔的出流速度。(有图)
答:小孔的出流速度与容器中水的高度h,重力加速度g和小孔的直径d有关。
取为基本量,故有
将在x=0点泰勒展开,
由于是小孔,《1,所以≈=C,即,
由不可压缩流体的伯努利方程知 C=,即。
10、若溢洪道断面为三角形,讨论溢洪流量。(有图)
答:单位时间内流过挡墙的质量流量Q,控制参数有三角形的底部顶角,流体的密度,上游水头h,重力加速度g。
取,g,h为单位系统,则:,所以
11、分析定常管流的摩擦系数和总管阻?什么情况下可不考虑密度的影响,说明其物理原因。
答:摩擦系数为单位面积上的管流阻力和管动压之比。因此,与管直径d,液体密度,粘度系数,流速U相关。即
取为基本量并作单位系统,得
总管阻
(2)层流时,可以不考虑密度的影响。层流时,每个质点基本上作等速运动,流元所受的惯性力和粘性力相比较小,惯性效应不明显。因此可不考虑惯性即密度的影响。
12、在低速绕流问题中,如水和空气互相模拟,问机、艇的尺寸和速度的缩比范围是什么?
解:固体受到流体的作用力
取作为单位,得,其中
低速绕流的模拟需要两方面的模拟条件,即
①几何相似:和;
②动力学相似:。
(1)先分析低速飞机在水中的模拟
对于低速飞行的飞机,飞行的速度范围200~400km/h,即50~120m/s,一般飞机