文档介绍：函数、导数及其应用
导数
【考纲知识梳理】
一、变化率与导数、导数的计算
1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为,若,则平均变化率可表示为。
2、函数y=f(x)在x=x0处导数:(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
为y=f(x)在x=x0处导数,记作
(2)几何意义:函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点(,)处的切线的斜率。相应地,切线方程为y-y0=(x=x0).
3、函数f(x)的导数:称函数为函数f(x)的导函数,导函数有时也记作。注:求函数f(x)在x=x0处的导数的方法:
方法一:直接使用定义;;
方法二:先求导函数,再令x=x0求
4、基本初等函数的导数公式
函数
导数
5、导数运算法
导数运算法则
1.
2.
3.
6、复合函数的导数:复合函数的导数和函数,的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积。
二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题
1、函数的单调性与导数:在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减。如果,那么函数在这个区间上是常数函数。注:函数在(a,b)内单调递增,则,是在(a,b)内单调递增的充分不必要条件。
2、函数的极值与导数:(1)曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,,当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,判断 f(x0) 是极大(小)值的方法是:(1)如果在 x0附近的左侧 f’(x)>0 ,右侧f’(x) <0 ,那么 f(x0) 是极大值.(2)如果在x0附近的左侧 f’(x) <0 ,右侧f’(x) >0 ,那么 f(x0) :导数为0的点不一定是极值点
3、函数的最值与导数:函数f(x)在[a,b]上有最值的条件:如果在区间[a,b]上函数
的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。
4、生活中的优化问题:解决优化问题的基本思路是:优化问题用函数表示的数学问题用导数解决函数问题优化问题答案
【热点、难点精析】
一、变化率与导数、导数的运算
(一)利用导数的定义求函数的导数
1、相关链接
(1)根据导数的定义求函数在点处导数的方法:
①求函数的增量;
②求平均变化率;
③得导数,简记作:一差、二比、三极限。
(2)函数的导数与导数值的区间与联系:导数是原来函数的导函数,而导数值是导函数在某一点的函数值,导数值是常数。
2、例题解析
〖例1〗求函数y=的导数。
解析: ,
=-。
〖例2〗一质点运动的方程为。
求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;
求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及求求导两种方法)
分析(1)平均速度为;
(2)t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答:(1)∵
∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,
.
(2)定义法:质点在t=1时的瞬时速度
求导法:质点在t时刻的瞬时速度
,当t=1时,v=-6×1=-6.
注:导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法,诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
(二)导数的运算
1、相关链接
(1)运用可导函数求导法则和导数公式,求函数在开区间(a,b)内的导数的基本步骤:
①分析函数的结构和特征;
②选择恰当的求导法则和导数公式求导;
③整理得结果。
(2)对较复杂的函数求导数时,诮先化简再求导,特别是对数函数真数是根式或分式时,可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
(3)复合函数的求导方法
求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量;
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量;
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数;
④复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程。
2、例题解析
〖例〗(1)求的导数;
(2)求的导数;
(3)求的导数;
(4)求y=的导数;
(5)求y=的导数
分析:先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆。