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全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)
(科目代码:304)
(模拟试卷1)
考生注意事项
.答题前,考生须在答题纸指定位置上后写考生姓名、报考单位和考生编号。
.答案必须书写在答题纸指定的位置上,写在其他地方无效。
.填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。
.考试结束,将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。
全国硕士研究生入学统一考试
数学三(模拟1)
考生注意:本试卷共二十三题,满分150分,考试时间为3小时.
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后的括号里.
⑴下列命题中不事硬的是().
(A)若/(X)在X=X0处左、右导数均存在但不相等,则/(X)在X=X0连续
(B)若lim/(n)=A,limf\x)=0,则limf(x)=An—>00 X>+00 X—►+<«)
(C)若lim/(x),limg(x)均不存在,则lim/(x)g(x)不存在XT与 X—>与 X—
(D)lim"(x)+g(x)]不存在,但limg(x)存在,则lim/(x)不存在
X->Xq X-►与 X~►Xq
⑵设/(x),g(x)在区间[0,2]上二阶可导,且/(0)=g(0)=0,/(2)=g(2)=1,且f"(x)>0,
1*2 ,2
g”(x)<0,记§=J。f(x)dx,S2=£g(x)dx,则().
(A)<1<52 (B)S2<1<5,
(C)S)<52<1 (D)l<S2<S]
⑶设/(x,y)=g(x,y)|x-yI,g(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则g(0,0)=0是£'(0,0),/,'(0,0)存在的()条件。
(A)充分非必要(B)必要非充分 (C)充分必要(D)非充分且非必要
(4)设f(x,y)为连续函数,则使jj/(x,y)(kdy=4(d¥J'r//x,y)dy成立的一个充分条件是
()
(A)f(-x,-y)=-f(x,y) (B)f(-x,-y)=f(x,y)
(C)f(-x,-y)=-f{x,y)(-x,y)=f(x,y)(D)f(-x,y)=f(x,y)且f(x,~y)=f(x,y)
(5)设a。,a是非齐次线性方程组AX=〃的三个解向量,且R(A)=3,a=(1,2,3,4)。
2 3 I
a2+a,=(0,l,2,3)r,。表示任意常数,则线性方程组AX=b的通解X=( )。
(A)(l,2,3,4)r+Q1,1,1,1)T (B)(l,2,3,4)r+C(0,l,2,3)r
(C)(l,2,3,4)r+C(2,3,4,5)
(D)(l,2,3,4)r+C(3,4,5,6)
(1 -1 1I、
(6)设4,5为3阶非0矩阵,满足A5=0,其中3=2a\-a2a1,贝ij
a —ci。〜一2
l J
(A)a=—1时,必有7?(A)=1 (B)aw—1时,必有/?(A)=2
(C)。=2时,必有R(A)=1 (D)时,必有H(A)=2
⑺设随机变量x服从标准正态n(o,i),且y=x2,则*与丫()
(A)相互独立且相关 (B)相互独立且不相关
(C)不独立且相关 (D)不独立且不相关_
(8)设AX2,…,X"是X〜P(A)(Poisson分布)的简单随机样本,T与群分别是样本X1,…,X,的样本均值与样本方差,方差。(灭)与EIS?)分别是( ).
(A) 2 (B)—、4 (C)成、2 (D)人—
n n
二、填空题:9〜14小题,每小题4分,.
\excosr-tsinr+x-l=0
⑼设丁=共幻由,eirdu, 确定,则曲线y=y(x)在处法线方程为(10)微分方程y'-6y'+9y=2e3x满足初始条件y(0)=0,/(0)=1的特解为。
(11)r 1—八=
2(xT)3d£-2x
(12)设级数>>(X—1)"在X=0处条件收敛,则级数。一1)”的收敛区间是.
n
nn=l
(2300)
1100
* n
(13)已知A=
0020
,A是A的伴随矩阵,则1,A*A2
、000"
jAe-Qx+,),x>0,y>0
(14)设随机变量(XI)的联合概率密度函数为/(x,y)=< /,则方差
10,其他
D(XY)=_Q.
三、解答题:15〜23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分10分)已知函数以X)是以T(T〉0)为周期的连续函数,且«0)=1,/(%)=\x\-t(b(t)dt,求f\T)的值.
数学考研模拟试卷
(16)(本小题满分10分)设z=z(x,y)是由方程Y+yJzn^x+y+z)所确定的函数,其中°具有二阶导数,且夕'#1.⑴求dz;(2)记”(x,y)=1(牛_牛),求
l)
(17)(本小题满分10分)证明:x>0,时ln(e2,+x)〉。
2
(18)(本小题满分10分)计算二重积分Jj(x+y)2办Uy,其中。是由不等式f+y222y和f4确定的区域。
(19)(本小题满分10分)求f(x)=xarctanx-In拒工F的麦克劳林级数,并求级数£(t广*的和.
(20)体小题满分11分)⑴设0=
Ql|'a
B,,a线性表示?(11)设4=0
I2 1 2 3 ]
a
1
1
2
20,问a,b为何值时矩阵方程1b।
Ax=5有解,有解时求出其全部解.
(21)(本小题满分11分)设A是“阶矩阵,A的第i行,
/列元素a^i-j
(1)求R(A);(2)求A的特征值,特征向量,并问A能否相似于对角阵,若能,求出相似对角阵,若不能,
则说明理由.
O(本小题满分11分)设随机变量X〜N(0』),P{F=T}=P{y=l}=L,且X与丫相互独立,
2
z=xy,求证⑴z〜n(o,1);(idx与z不相关也不独立.
O(本小题满分11分)设X”…,X”为总体X的简单随机样本,总体X的密度函数为
[2e吟x>0
/(X)干斯i
[0,x<0
试求:⑴参数。的最大似然估计小;(II)考察。2是否为加的无偏估计
数学考研模拟试卷
数学三(模拟1)参考答案
一、端题:(1)〜(8)小题,每小题4分洪32分.
f0,x<0, fl,x<0,
⑴【解】当/'(x)=< g(x)=],则lim/(x)g(x)=O是存在的,故【答案】C.
[l,x>0. [0,x>0. n
(2)【解】根据定积分的几何意义及函数曲线的凹凸性可得【答案】A.
(3)【答案】C
(4)【答案】D
6【解】因R(A)=3,”=4,故导出组AX=0的一个基础解系只含〃—R(A)=4—3=1个解。又根
据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解,因而
2a-(a+a)=(a—a)+(a-a)=(2,3,4,5)'w0为其导出组的一个解,因它不等于0,故I2 3I2 1 3
(2,3,4,5),为其导出组的基础解系。又显然a1为其自身的一个特解,故所求通解为
a+C[2a-(a+a)]=(1,2,3,4/+C(2,3,4,5)r,故【答案】C.
6【答案】C
⑺【解】由于E(XY)=E(XiS=+,^(p{x}dx=0;又E(X)=0,所以E(XY)=E(X)E(Y\,
所以cou(x,y)=o,即不相关;
概率尸{X«l,141}=尸{XW[X2wi)=尸{凶41}=251)-1,P{X<1}=<D(1)
p{Y<i}=P{x2<i}=2<D(i)-i,P{xwi,ywi}HP{xwi}P{ywi},x与y不独立.【答案】d
(8)【答案】B
-exsinr+cos/
二、填空题:9〜14小题,每小题4分,.
(9)【解】由题设可知r=0时,x=y=0,-,=1+e'cosr=J.,所以所求法线方程为y=_Lx.
(10)【解】y=(c+cx)e3',y=Q(x)e3x=Ax1e3x,Q'(x)=2A=2=P(x),A=l,y=(x+x2)^o(H)【解】原式=j2seytanrd/=J?cos?/df=〃
(12)【答案】(0,2)
数学考研模拟试卷
oo
o2oo一ooTo64
-oo22oo
-
//I-•
oo
=4(A2r,(A*r,=4(A-')=(44一|4一|•A)(-l)=~2A~'
4 2
+y2)dxdy+jj(x2+y2)drdv+0
D、
3 29
=84一_乃=_九
4 4
(19)【解】xarctanx=xjox
f;£(-l)V-dr
rt=O
(14)【解】由于X与y相互独立,A=2,且X〜E(2),Y〜£(1),则方差
D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=E(X2)E(Y2)1{E^yE(Y)}^i 13
=[DX+(EX)2][DY+(EYy]-{£(X)£(n)2=[+ -+P]-(Xl)2=l-=.
4G 2 44
三'解答题:15〜23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)【解】 ,
x 2x x 2x x 2x
f(x)=£(x-dr+J(t-x)(p(t)dt=xj^(r)d/-xj夕⑺dr-/)砂⑺df+J dt,
tlx)=J。*)df-J°⑺df+2x(p(2x),
所以f(T)=j:(p(t)dt-^r°⑺dt+TT(pQT),
因奴x)是周期为T的周期函数,故有(p(2T)=^(0)=1,所以/'(r)=2T.
(16)【解】(l)2xdx+2ydy—dz=0'(dx+dy+dz),dz=~~~^~dx+ ~~^~dy
\+(ff \+3
-dz2x-(p'dz2y-(pf, 、 2du20'(2x+l)
(2)—=-—=~——,w(x,y)= ,一=——
bx(p八dy@+\ (p+1dx(1+8)3
(17)【证明】令/(x)=ln(e2x+x)-3x+_x2,xg[0,+oo),则/(0)=0,
2
f'(x)=(5xT;+5l-3x+l,设g(x)=(5x-i)e入+5^-3x+l,贝ijg(0)=0,e+x
g'(x)=3(e2t-l)+10x(e2v+l),x>0时,g'(x)>0,因而x>0时,有g(x)>g(0)=0,即f\x)>0,
由此可得函数y(x)在0+8)上单增,因而有彳>0时,/。)=111(62*+»-3彳+\2>/(0)=0,即
2
、 5,
ln(e2t+x)>3x-_f。
2
(18)【解】原式="(》2+9)小切+2,分(1«='。2D D Dj
令 f-e*2sin0 31TC
r2rdr-2\2d0\r2rdr=
o . 422
=3方(-1)"2什1_(-1)*2",|Jfl<1
“二。2"+/]=篙k/ 1 ]8
lnV24-x2=-ln2+-ln(l+—)=-ln2+-^
乙乙 L L Z”=|
1 2/1
X
2n
n-1
合并上面两级数,,得到
y(-1)"
f(x)
”=i2〃一
2n
-X
1 lv(-Dn
In2-乙——
2 2Ki〃
J-In
X
2"
In2+乙(-1)
n=\
岭域行y或沅卜得1n
(1 J―2”
12〃.1一〃2+加
Z(T)
/I=l
=/(1)+_In2=--In6+_ln2=_+_ln_
n(2n-\)2"+i ' 2 4 2 423
“行”1 1 -1 1
(20)【解】⑴(a,a,a \J3fi )#0 1 2 t2 0
12 3 12 |
(00a-3।0b-l,
.a=3/Hl时,4不能由0,%,%表出
.ax3,。任意,为氏均可由即%,%表出,且表示法唯一.
A&=£],解为X]=—3,巧=2,*3=0,即P\=—3a,+2a,
A&=B,解为x=\+b-l,x=1+-2(31),*
2 1 q_3 2 a_3 3a_3
即 =%]a,+x2a,+x3a,
.a=3力=1有无穷多解.?”△均可由a”a,4线性表出,且不唯一.
心=6有解%(1-2r>-(,2。
।1
A$=△有解七(I一21>,(]。
(11)(I)知,当a=3,br1,AX=5无解
/
-3
一2(6-1)
u—3
h-\〃一3
.当a#3,。任意,AX=3有唯一解,且X12
0
I
fk「2
.a=3,b,AX=B有无穷多解,且有X=-2k
।左+t
(21)【解】(1)由题设条件知
P2…⑴
24 2n'121 得
A= =|Wl,2,…,〃)=aa7,故r(a)=i,
:C:•. 2I:lI
n2nnn
I2I/I/,吟
(2)因A=(aa)(aa)=aaA=|ZiU,|A|=0,4==ac^xa1a=Z『#0
故方程组acfx=0与/x=0是同解方程组,
只需解方程a'x=0,即满足x+2%+…+nr=0>
有线性无关特征向量为4=(」2,1,0:,0)7,/=(-3,0,1,,0)7,4=(-n,0,,0,1)1
' ••■'_'・・・,・・・'♦・・'
I 2 n-\
由此可知4=0至少是〃一1重根,
n n n
又trA= =Z分工。•故A有一个非零特征值几=。0
<=1 r=l r=l
当4=Z/=a'a时,由(4E-A)x=[a1aE-aal)x=0i=l
由观察可知x=a时,(a'aE-aa')a==(1,2,=£是对应丸=\产特征向量.
A有〃个线性无关特征向量,A能相似对角化. (o 、
(-2-3一〃1、
•" 0
1 2
取尸=代/,看)= ,则KAP= =/lo
I2…" : •0
1A *2
IJI」
(22)【解】⑴由分布函数定义:
Fz(z)=P(Z<z)=P[XY<z]=P(Y=l)P(XY<z\7=1)+P(F=-1)P(XK<z|K=-l}
=i[P{X<z}+P{X>-z}]=i[f:1jOz+f_1e^Sz]=f2Je之=①(z):
2 2^y/2;r -z 兀
(II)因£Y=0,"=0,乂与丫独立,由协方差公式:Cov(X,Z)=E(X2y)-EXEXy=0所以
X与Z不相关:
又P[X<\,Z<\]=P[X<\,XY<\}=P{X<\,XY<\,Y=-\}+P{X<\,XY<\,Y=\}
=p{x<i,x>-i,y=-i}+P{x<i,x<i,y=i}=l[P{-i<x<1}+P{x<i}]^1[3o(i)-i]
2 2
另一方面,P{X<1}P{Z<1}=[<D(1)]2,由此知X与Z不能独立.
(23)【解】⑴求参数。的最大似然传计〃
人力翁e02期2 2„
] ]n、alnLn2 2
2)lnL="(ln2-ln6-/ln乃)%,~dO~=~~0+~^^X,=°
3)解得。的最大似然估计xj
(II)考察。2是否为的无偏估中, ,
由于E(X2)=「\2-^-)及公="「7-'%=£
0 8而 万0 2
4On
八2n 2 2 21 2 2
所以E(6>?)=-YE(y,即。=-YX,.是为。的无偏估计.
"占। n/=i