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2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式后,一次项系数是()
.﹣8xC.﹣8D.﹣10
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
.
.
1
3.(3分)抛物线y=(x﹣6)2+3的顶点坐标为()
2
3
A.(6,3)B.(﹣6,3)C.(3,3)D.(﹣3,)
2
3
4.(3分)方程2x2﹣3x−=0的根的情况是()
2
5.(3分)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线为()
=(x+3)2+=(x﹣3)2+=(x+5)2+=(x﹣5)2+3
6.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'
恰好落在BC边上,且AB'=CB',则∠C'的度数为()
°°°°
7.(3分)如图,AB为⊙O的直径,点C、D、E在⊙O上,且ᵃᵃ̂=ᵃᵃ̂,∠E=70°,则∠ABC的度数为
()
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°°°°
8.(3分)某机械厂七月份生产零件50万个,、九月份平均每月的
增长率为x,那么x满足的方程是()
(1+x2)=196
+50(1+x2)=196
+50(1+x)+50(1+x)2=196
+50(1+x)+50(1+2x)=196
9.(3分)如图,⊙O的直径AB为10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D点,交AB于E点,则DE
的长为()
242524
.√2C.√2D.
√
775
10.(3分)函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法正确的是()
|ax2+bx|=k有四个不等的实数根
+b>1
+b>0
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+3b<1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)点A(2,﹣1)关于原点对称的点B的坐标为.
12.(3分)若关于x的一元二次方程ax2=b(a≠0)一根为2,则另一根为.
13.(3分)把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛,那么物体经过x(s)时,离地面高度为h(m),h
与x的函数关系为h=10x﹣,则物体回到地面的时间为s.
14.(3分)芳芳家今年搬进了新房,新房外飘的凉台呈圆弧形(如图所示),她测得凉台的宽度AB为8m,
凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m,则凉台所在圆的半径为.
15.(3分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0,下列结论:①方程总有两个不等的实数
根;②若两个根为x1,x2,且x1>x2,则x1>3,x2<3;③若两个根为x1,x2,则(x1﹣2)(x2﹣2)=
5+√ᵅ2+1
(x1﹣3)(x2﹣3);④若x=(p为常数),则代数式(x﹣3)(x﹣2)的值为一个完全平方数,
2
其中正确的结论是.
16.(3分)如图,∠ABC=90°,AC=6,以AB为边长向外作等边△ABM,连CM,则CM的最大值为.
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)解方程:x2﹣4x﹣7=0.
18.(8分)用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园,墙的长度为18m.
(1)设垂直于墙的一边长为xm,则是菜园的面积为;
(2)若菜园的面积为100m2,求x的值.
19.(8分)如图,点A、P、B、C为⊙O上四点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC形状并证明;
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(2)将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB,请画出图形,直接写出PA,PB,PC三者之间的数
量关系.
20.(8分)如图,在8×8的正方形网格中,点A,B,C,P都在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格
中按要求画图(画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示).
(1)△ABC的形状为;
(2)在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°,画出图形;
(3)在图1中在AC上找一点M,使∠AMP=45°;
(4)在图2中作PN⊥AC,且PN=AC,若AC绕某一点旋转得到PN(P与C对应),在图中标出旋转
中心O.
21.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点C为ᵃᵃ̂的中点,CD⊥AE交直线AE于D点.
(1)求证:OC∥AD;
(2)若DE=1,CD=2,求⊙O的直径.
22.(10分)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出,如果每辆汽车的月租
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费每增加50元,,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计
1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费﹣月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利
润﹣月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是元;
(2)当每个公司租出的汽车为辆时,两公司的月利润相等;
(3)求两公司月利润差的最大值.
23.(10分)问题背景:(1)如图1,等边△ABC,点P在△ABC左侧且∠APC=30°,将△APC绕点A
顺时针旋转60°,画出图形.
探究思考:(2)在(1)的条件下,求证:PB=AC;
拓展创新:(3)如图2,等边△ABC,∠AMC=60°,AM=6,CM=4,直接写出BM的长.
24.(12分)已知抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线x=m(0<m<4)交抛物线于M点,交BC于N点,且CM∥ON,求m的值;
(3)如图2,若点P为抛物线x轴下方一点,直线AP交y轴于M点,直线BP交y轴于N点,且OM
25
•ON=,求P点坐标.
4
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2021-2022学年湖北省武汉市新洲区邾城街九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式后,一次项系数是()
.﹣8xC.﹣8D.﹣10
【解答】解:方程整理得:3x2﹣8x﹣10=0,其中一次项系数为﹣8,
故选:C.
2.(3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
.
.
【解答】解:,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
,是中心对称图形,故本选项不符合题意;
,又是中心对称图形,故本选项符合题意;
,不是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C.
1
3.(3分)抛物线y=(x﹣6)2+3的顶点坐标为()
2
3
A.(6,3)B.(﹣6,3)C.(3,3)D.(﹣3,)
2
1
【解答】解:抛物线y=(x﹣6)2+3的顶点坐标为(6,3).
2
故选:A.
3
4.(3分)方程2x2﹣3x−=0的根的情况是()
2
3
【解答】解:∵方程2x2﹣3x−=0中,
2
3
Δ=(﹣3)2﹣4×2×(−)=9+12=21>0,
2
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∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
5.(3分)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线为()
=(x+3)2+=(x﹣3)2+=(x+5)2+=(x﹣5)2+3
【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:
y=x2+3;
由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣5)
2+3;
故选:D.
6.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'
恰好落在BC边上,且AB'=CB',则∠C'的度数为()
°°°°
【解答】解:∵AB'=CB',
∴∠C=∠CAB',
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C,
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',
∴∠C=∠C',AB=AB',
∴∠B=∠AB'B=2∠C,
∵∠B+∠C+∠CAB=180°,
∴3∠C=180°﹣108°,
∴∠C=24°,
∴∠C'=∠C=24°,
故选:C.
7.(3分)如图,AB为⊙O的直径,点C、D、E在⊙O上,且ᵃᵃ̂=ᵃᵃ̂,∠E=70°,则∠ABC的度数为
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()
°°°°
【解答】解:如图,连接OD,BD.
∵ᵃᵃ̂=ᵃᵃ̂,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠DOB=2∠DEB=140°,
∴∠OBD=∠ODB=20°,
∴∠ABC=2∠OBD=40°,
故选:B.
8.(3分)某机械厂七月份生产零件50万个,、九月份平均每月的
增长率为x,那么x满足的方程是()
(1+x2)=196
+50(1+x2)=196
+50(1+x)+50(1+x)2=196
+50(1+x)+50(1+2x)=196
【解答】解:依题意得八、九月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,
∴50+50(1+x)+50(1+x)2=196.
故选:C.
9.(3分)如图,⊙O的直径AB为10,弦AC=6,∠ACB的平分线交⊙O于D点,交AB于E点,则DE
的长为()
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√2B.√2C.√2D.
775
【解答】解:过点E作EG⊥AC于点G,EJ⊥CB于J,连接OD.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC=√ᵃᵃ2−ᵃᵃ2=√102−62=8,
∵CD平分∠ACB,EG⊥AC,EJ⊥CB,
∴EG=EJ,
1
ᵄᵃᵃ⋅ᵃᵃ⋅ᵃᵃ3
△ᵃᵃᵃ2
∴===,
ᵄᵃᵃ14
△ᵃᵃᵃ⋅ᵃᵃ⋅ᵃᵃ
2
330
∴AE=×10=,
77
∵OA=5,
305
∴OE=OA﹣AE=5−=,
77
∵∠ACD=∠BCD,
∴ᵃᵃ̂=ᵃᵃ̂,
∴OD⊥AB,
525√2
∴DE=√ᵄᵃ2+ᵄᵃ2=√()2+52=,
77
故选:C.
10.(3分)函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法正确的是()
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|ax2+bx|=k有四个不等的实数根
+b>1
+b>0
+3b<1
【解答】解:由图象可得|ax2+bx|=k有无实数根与k的大小有关,实数根可能有0个,2个,3个,4
个.
∴选项A错误,不符合题意.
∵x=1时,y<1,
∴|a+b|<1,
∴﹣1<a+b<1,
∴选项B错误,不符合题意.
ᵄᵄ
∵图象对称轴为直线x=−,且0<−<1,a<0,
2ᵄ2ᵄ
∴b<﹣2a,即2a+b<0,
∴选项C错误,不符合题意.
由图象可得0<x≤1时,y=ax2+bx,
x≥2时,y=﹣ax2﹣bx,
∴x=1时,a+b<1①,
x=2时,﹣4a﹣2b>0②,
由①﹣②得5a+3b<1,
∴选项D正确,符合题意.
故选:D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)点A(2,﹣1)关于原点对称的点B的坐标为(﹣2,1).
【解答】解:∵关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数,
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∴点A(2,﹣1)关于原点的对称点的坐标为(﹣2,1).
故答案为:(﹣2,1).
12.(3分)若关于x的一元二次方程ax2=b(a≠0)一根为2,则另一根为﹣2.
【解答】解:设方程的另一个根为m,
则2+m=0,
解得:m=﹣2,
故答案为:﹣2.
13.(3分)把一个物体从地面以10m/s速度竖直上抛,那么物体经过x(s)时,离地面高度为h(m),h
100
与x的函数关系为h=10x﹣,则物体回到地面的时间为s.
49
【解答】解:回到地面则h=0,即10x﹣=0,
100
解得:x1=0,x2=,
49
100
∴球从弹起至回到地面需s,
49
100
故答案为:.
49
14.(3分)芳芳家今年搬进了新房,新房外飘的凉台呈圆弧形(如图所示),她测得凉台的宽度AB为8m,
凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m,则凉台所在圆的半径为5米.
【解答】解:设凉台所在圆的半径为O,凉台所在圆的半径为r,
过O作OD⊥AB交⊙O于点C.
由题意可知CD=2米,
在Rt△BOD中,B02=OD2+BD2,
r2=(r﹣2)2+42,得r=5.
故答案为5米.
15.(3分)已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0,下列结论:①方程总有两个不等的实数
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根;②若两个根为x1,x2,且x1>x2,则x1>3,x2<3;③若两个根为x1,x2,则(x1﹣2)(x2﹣2)=
5+√ᵅ2+1
(x1﹣3)(x2﹣3);④若x=(p为常数),则代数式(x﹣3)(x﹣2)的值为一个完全平方数,
2
其中正确的结论是①③.
【解答】解:由(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0得x2﹣5x+6﹣p2=0,
①Δ=25﹣4×(6﹣p2)=1+4p2>0,
∴(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0总有两个不等的实数根,故①正确;
②设p=0,关于x的一元二次方程为(x﹣3)(x﹣2)=0,若两个根为x1,x2,且x1>x2,
则x1=3,x2=2,这与x1>3不符合,故②不正确;
③若x2﹣5x+6﹣p2=0两个根为x,x,则x+x=5,x•x=6﹣p2,
121212
(x﹣2)(x﹣2)=x•x﹣2(x+x)+4=6﹣p2﹣2×5+4=﹣p2,
121212
(x﹣3)(x﹣3)=x•x﹣3(x+x)+9=6﹣p2﹣3×5+9=﹣p2,
121212
∴(x1﹣2)(x2﹣2)=(x1﹣3)(x2﹣3),故③正确;
5+√ᵅ2+1
④∵x=(p为常数),
2
515+√ᵅ2+151ᵅ2ᵅ
∴(x﹣3)(x﹣2)=x2﹣5x+6=(x−)2−=(−)2−==()2,
2422442
ᵅ
当p为奇数时,不是整数,此时(x﹣3)(x﹣2)不是完全平方数,故④不正确;
2
故答案为:①③.
16.(3分)如图,∠ABC=90°,AC=6,以AB为边长向外作等边△ABM,连CM,则CM的最大值为
3√3+3.
【解答】解:过点M作MD⊥BC,交BC的延长线于点D,如图,
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设AB=x,则BC=√ᵃᵃ2−ᵃᵃ2=√36−ᵆ2.
∵△ABM是等边三角形,
∴BM=AB=x,∠ABM=60°.
∵∠ABC=90°,
∴∠MBD=30°.
∵MD⊥BC,
11
∴MD=BM=x,
22
√3√3
BD=BM=x.
22
在Rt△MDC中,
∵CM=√ᵄᵃ2+ᵃᵃ2
√1√3
=(ᵆ)2+(ᵆ+√36−ᵆ2)2
22
=√36+√3ᵆ⋅√36−ᵆ2
=√36+√−3ᵆ4+108ᵆ2
=√36+√−3(ᵆ2−18)2+972,
∴当x2=18时,CM有最大值√36+√972.
∵√36+√972=√36+18√3=3√4+2√3=3√(√3+1)2=3√3+3,
∴CM的最大值为:3√3+3.
故答案为:3√3+3.
三、解答题(共8小题,共72分)
17.(8分)解方程:x2﹣4x﹣7=0.
【解答】解:移项得:x2﹣4x=7,
配方得:x2﹣4x+4=7+4,
即(x﹣2)2=11,
开方得:x﹣2=±√11,
∴原方程的解是:x1=2+√11,x2=2−√11.
18.(8分)用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园,墙的长度为18m.
(1)设垂直于墙的一边长为xm,则是菜园的面积为x(30﹣2x)m2;
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(2)若菜园的面积为100m2,求x的值.
【解答】解:(1)设垂直于墙的一边长为xm,则平行于墙的一边长为(30﹣2x)m,
∴菜园的面积为x(30﹣2x)m2.
故答案为:x(30﹣2x)m2.
(2)依题意得:x(30﹣2x)m2=100,
整理得:x2﹣15x+50=0,
解得:x1=5,x2=10.
当x=5时,30﹣2x=30﹣2×5=20>18,不合题意,舍去;
当x=10时,30﹣2x=30﹣2×10=10<18,符合题意.
答:x的值为10.
19.(8分)如图,点A、P、B、C为⊙O上四点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC形状并证明;
(2)将△APB绕点B顺时针旋转60°至△CMB,请画出图形,直接写出PA,PB,PC三者之间的数
量关系PC=PB+PA.
【解答】解:(1)结论:△ABC是等边三角形.
理由:∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
(2)图形如图所示,点M恰好在CP上,
∵∠BPM=∠PBM=60°,
∴△PBM是等边三角形,
∴PB=PM,
∴PC=PM+CM=PB+PA,
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故答案为:PC=PB+PA.
20.(8分)如图,在8×8的正方形网格中,点A,B,C,P都在格点上,仅用无刻度的直尺在给定网格
中按要求画图(画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示).
(1)△ABC的形状为直角三角形;
(2)在图1中将线段BC绕点B逆时针旋转90°,画出图形;
(3)在图1中在AC上找一点M,使∠AMP=45°;
(4)在图2中作PN⊥AC,且PN=AC,若AC绕某一点旋转得到PN(P与C对应),在图中标出旋转
中心O.
【解答】解:(1)如图,∵AC=2√5,BC=√5,AB=5,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC是直角三角形.
故答案为:直角三角形;
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(2)如图,线段BC′即为所求;
(3)如图,点M即为所求;
(4)如图,线段PN,点O即为所求.
21.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点C为ᵃᵃ̂的中点,CD⊥AE交直线AE于D点.
(1)求证:OC∥AD;
(2)若DE=1,CD=2,求⊙O的直径.
【解答】(1)证明:连接BE.
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,即AD⊥BE,
∵点C为ᵃᵃ̂的中点,
∴ᵃᵃ̂=ᵃᵃ̂,
∴OC⊥EB,
∴OC∥AD;
(2)解:设BE交OC于点T.
∵CD⊥AD,
∴∠D=∠DET=∠CTE=90°,
∴四边形DETC是矩形,
∴CD=ET=2,DE=CT=1,
∵OC⊥EB,
∴BT=TE=2,
设OB=OC=r,
则r2=(r﹣1)2+22,
5
∴r=,
2
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∴AB=2r=5,即⊙O的直径为5.
22.(10分)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租,下面是两公司经理的一段对话:
甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出,如果每辆汽车的月租
费每增加50元,,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.
乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计
1850元.
说明:①汽车数量为整数;②月利润=月租车费﹣月维护费;③两公司月利润差=月利润较高公司的利
润﹣月利润较低公司的利润.
在两公司租出的汽车数量相等的条件下,根据上述信息,解决下列问题:
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元;
(2)当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等;
(3)求两公司月利润差的最大值.
【解答】解:(1)[(50﹣10)×50+3000]×10﹣200×10=48000元,
当每个公司租出的汽车为10辆时,甲公司的月利润是48000元,
故答案为:48000;
(2)设每个公司租出的汽车为x辆,
由题意可得:[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x=3500x﹣1850,
解得:x=37或x=﹣1(舍),
∴当每个公司租出的汽车为37辆时,两公司的月利润相等,
故答案为:37;
(3)设两公司的月利润分别为y,y,月利润差为y,
甲乙
则y=[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x,
甲
y=3500x﹣1850,
乙
当甲公司的利润大于乙公司时,0<x<37,
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y=y﹣y=[(50﹣x)×50+3000]x﹣200x﹣(3500x﹣1850)
甲乙
=﹣50x2+1800x+1850,
1800
当x=−=18时,利润差最大,且为18050元;
2×(−50)
当乙公司的利润大于甲公司时,37<x≤50,
y=y﹣y=3500x﹣1850﹣[(50﹣x)×50+3000]x+200x
乙甲
=50x2﹣1800x﹣1850,
−1800
∵对称轴为直线x=−=18,50>0,
2×50
∴当37<x≤50时,y随x的增大而增大,
∴当x=50时,利润差最大,且为33150元,
综上:两公司月利润差的最大值为33150元.
23.(10分)问题背景:(1)如图1,等边△ABC,点P在△ABC左侧且∠APC=30°,将△APC绕点A
顺时针旋转60°,画出图形.
探究思考:(2)在(1)的条件下,求证:PB=AC;
拓展创新:(3)如图2,等边△ABC,∠AMC=60°,AM=6,CM=4,直接写出BM的长2√19或
2.
【解答】(1)解:如图所示,
(2)证明:如图2,连接PP',
由旋转得,AP'=AP,∠PAP'=60°,∠AP'B=∠ABC=30°,
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∴△APP'是等边三角形,
∴∠AP'P=60°,AP=AP'=PP',
∴∠PP'B=60°﹣30°=30°,
∵AP'=PP',∠PP'B=∠AP'B,BP'=BP',
∴△AP'B≌△PP'B(SAS),
∴PB=AB,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,
∴PB=AC.
(3)解: