文档介绍：概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1、导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。如一物体的运动方程是,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在时的瞬时速度为_____(答:5米/秒)
2、导函数的概念:如果函数在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个,都对应着一个导数,这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做在开区间(a,b)内的导函数, 记作
,导函数也简称为导数。
3、求在处的导数的步骤:(1)求函数的改变量;(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数。
4、导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,相应地切线的方程是。特别提醒:(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是。如(1)P在曲线上移动,在点P处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______(答:);(2)直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______(答:-3或1);(3)已知函数(为常数)图象上处的切线与的夹角为,则点的横坐标为_____(答:0或);(4)曲线在点处的切线方程是______________(答:);(5)已知函数,又导函数的图象与轴交于。①求的值;②求过点的曲线的切线方程(答:①1;②或)。
5、导数的运算法则:(1)常数函数的导数为0,即(C为常数); (2),与此有关的如下:;(3)若有导数,则①;②
。如(1)已知函数的导数为,则_____(答:);(2)函数的导数为 __________(答:);(3)若对任意,,则是______(答:)
6、多项式函数的单调性:
(1)多项式函数的导数与函数的单调性:
①若,则为增函数;若,则为减函数;若恒成立,则为常数函数;若的符号不确定,则不是单调函数。
②若函数在区间()上单调递增,则,反之等号不成立;若函数在区间()上单调递减,则,反之等号不成立。如(1)函数,其中为实数,当时,的单调性是______(答:增函数);(2)设函数在上单调函数,则实数的取值范围______(答:);(3)已知函数为常数)在区间上单调递增,且方程的根都在区间内,则的取值范围是____________(答:);(4)已知,,设,试问是否存在实数,使在上是减函数,并且在上是增函数?(答:)
(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求;(2)求方程的根,设根为;(3)将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断的符号,由此确定每一子区间的单调性。如设函数在处有极值,且,求的单调区间。(答:递增区间(-1,1),递减区间)
7、函数的极值:
(1)定义:设函数在点附近有定义,如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极大值。记作=,如果对附近所有的点,都有,就说是函数的一个极小值。记作=。极大值和极小值统称为极值。
(2)求函数在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数;(ii)求方程的根;(iii)检查在方程的根的左右的符号: