文档介绍：数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、 4、
4、
例:已知,求的前n项和.
解:由
由等比数列求和公式得
=
=
=1-
解析:如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式,可以直接利用公式。
二、错位相减
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。
例:求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a为常数)的前n项和。
解:若a=0, 则Sn=0
若a=1,
则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠0且a≠1
则Sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan
∴aSn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) Sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1
=
∴Sn=
当a=0时,此式也成立。
∴Sn=
解析:数列是由数列与对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种情况进行讨论,最后再综合成两种情况。
三、倒序相加
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个。
[例5] 求证:
证明: 设………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
(反序)
又由可得
…………..…….. ②
①+②得(反序相加)
∴
解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。
四、分组求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
例:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1)
解法:按n为奇偶数进行分组,连续两项为一组。
当n为奇数时:
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)
=2×+(-2n+1)
=-n
当n为偶数时:
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]
=2×
-n (n为奇数)
n (n为偶数)
=n
∴Sn=
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如