文档介绍：浅谈的函数对称性
张兴红
函数是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。函数的对称性是函数的一个基本性质,是高考考查的重点内容。现在就函数的对称性性质作如下介绍:
一、函数的图像关于点对称
例1求证:函数的图像关于点P()对称的充要条件是
证明:(必要性)设点)是图像上任一点,∵点关于点P()的对称点也在图像上,∴
即故.
(充分性)设点是图像上任一点,则
∵∴,即故点也在) 图像上,而点P与点‘关于点P()对称.
结论:函数的图像关于原点O对称的充要条件是.
二、函数的图像关于直线对称
例2. 函数的图像关于直线对称的充要条件是
即
必要性:∵函数的图像关于直线对称
∴的图像上任意一点A关于的对称点
∴令
∴f(a+t)=f(2a-(a+t))=f(a-t) 对任意都成立
充分性:∵对定义域内的任意,都有成立
∴对图像上任一点令
∴点关于的对称点)也在的图像上
函数
对称中心坐标
对称轴方程
y = sin x
( kπ, 0 )
x = kπ+π/2
y = cos x
( kπ+π/2 ,0 )
x = kπ
y = tan x
(kπ/2 ,0 )
无
∴函数的图像关于直线对称
综上:函数f(x)的图像关于直线对称的充要的条件是
对定义域内的任意都有成立。
结论:函数的图像关于y轴对称的充要条件是
函数的图像与的图像关于直线= 成轴对称
例3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:
f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:
f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:
f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。
三、三角函数图像的对称性列表
注:①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 ),
四、函数对称性应用举例
例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周