§110闭区间上连续函数的性质.doc

文档介绍：§
Ⅰ授课题目:
§
Ⅱ教学目的与要求:
1掌握闭区间上连续函数的性质
Ⅲ教学重点与难点:
重点:介质定理
难点:介值定理的应用
Ⅳ讲授内容:
§
函数在区间上的最大值与最小值的定义
,使得对于,恒有

则称是在区间上的最大值(或最小值),称是的最大值点(或最小值点).最大值与最小值统称为最值.
例如,函数在上有最大值和最小值,最大值点为,最小值点为;函数在内也有最大值和最小值,而它在内的最大值与最小值均是;函数在开区间和内都没有最大值和最小值.
二、闭区间上连续函数的性质

定理1:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.
即若函数在闭区间上连续,则存在常数,使得对于任意的,都有。且至少存在一点使得是函数在闭区间上的最大值,又至少存在一点使得是函数在闭区间上的最小值.
图1-10-1 图1-10-2
注意: 若函数在开区间上连续或在闭区间内有间断点,则结论不一定成立.
例如内连续,但它在内无界。
又如图1-10-2:在上有界,但是无最值.


如果存在点,使得,则称点为的零点。
定理2(零点定理):设函数在闭区间上连续,且与异号(即),那么在开区间内至少有一点,使.

与异号就是曲线的两个端点位于轴的异侧,那么这段曲线与轴至少有一个交点。
3. 介值定理
定理3(介值定理):设函数在闭区间上连续,且这区间的端点取不同的函数值,那么对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点,使,()
证: 作辅助函数,则在闭区间上连续,
,,
由零点定理在开区间内至少有一点,使,()
即.
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的