文档介绍：(二)双曲线知识点及巩固复****br/>
如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线
若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支
F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(2) 若|P F1|-|PF2|=2a
①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是
②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是
③2a=0则动点P的轨迹是
(1)焦点在x轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1,F2分别为双曲线的左右两焦点,P为椭圆上的一点)
焦点在y轴上的双曲线
标准方程
x,y的范围
顶点焦点对称轴对称中心
实半轴的长虚半轴的长焦距
离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越
准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1,F2分别为双曲线的下上两焦点,P为椭圆上的一点)
等轴双曲线:特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为
共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线
特点①有共同的渐近线②四焦点共圆
双曲线的共轭双曲线是
共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)
共渐近线的双曲线的方程为
例题
在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整条双曲线,还是双曲线的哪一支
考点1、双曲线定义
例1、已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程
【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是( )
A. B. C. D.
【例3】已知双曲线与点M(5,3),F为右焦点,若双曲线上有一点P,使最小,则P点的坐标为
考点2、求双曲线的方程
求双曲线标准方程的方法
,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a、b、c即可求得方程.
(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法
①与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为-=t(t≠0);
②若双曲线的渐近线方程是y=±x,则双曲线的方程可表示为-=t(t≠0);③与双曲线-=1共焦点的方程可表示为-=1(-b2<k<a2);
④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为+=1(mn<0);
⑤与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为+=1(b2<λ<a2).
例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
,若x2的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2的系数是正的,那么焦点在y轴上,且对于双曲线,a不一定大于b.
,可设双曲线方程为:mx2+ny2=1(mn<0),以避免分类讨论.
考点3、双曲线的几何性质
双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切,解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系,充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程
例5、(12分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使·=0,求此双曲线离心率的取值范围.
例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1、F2,P为双曲线上一点,且|PF1|=3|PF2|,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k=,则双曲线的离心率e的范围是( )
> <e< <e< >
【例8】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )A. B. C. D.
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形,是事前
不曾想到的吧?可是,这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以