文档介绍：不同的命题逻辑之古典命题逻辑的不同的公理化
刘赫
哈尔滨师范大学()
摘要:古典命题逻辑的历史悠久,已经历了大约一百年,内容也最根本,其特点有:每一变项和公式至少在下列二值中取一:真或假;每一变项和公式至多在下列二值中取一:真或假;,还有各种类型的非古典命题逻辑.
关键词:命题逻辑古典命题逻辑公理化
多值逻辑
在多值逻辑中,命题变项和公式的值不止两个,可以是三个,四个,以至于无穷多个等等.
模态逻辑
在模态逻辑中,有以下命题形式:
是必然的
是可能的
是不可能的
等等,当取值真时,“是必然的”不必为真.
构造性逻辑
在构造性逻辑中,真假概念是与构造的可实现性相联系的,以致古典命题逻辑的排中律等一系列定理在其中失效.
命题演算是命题逻辑的系统化,命题逻辑的系统化可以采取不同的形式,它首先可以分为两大类:,也表现为推理规则的差别.
各种符号体系
数理逻辑中不但有不同的系统,也有多种不同的符号体系。除变项外,命题逻辑中所使用的符号有两大类,联结词和作分组用的符号,以下分别说明:
(一)联结词
联结词的使用目前在数理逻辑工作者中尚未取得一致,兹将较常见的几种列表如下:
名称
汉语读法
符号
一般的
可不用括号分组的
本书逻辑学
否定析取合取蕴涵等值
并非,或者,并且,如果…,那么…,当且仅当
~,—,,,,,,,,
,,,,C
,,,,
符号分组办法
大致有四种:
根据联结词的结合力或分离力的强度.
和算数里先乘除后加减的规定类似,对于联结词结合力强度的规定可以起分组作用.
用括号分组.
可以用一种括号,也可以用三种括号,如{,};[,];和(,)等
用句点分组.
在联结词的左侧下方,或右侧下方,或两侧同时加句点,例如:
例一, .q,
例二, pq..pq,
例三, p:.
关于句点的使用,有以下规定:
(甲)同一联结词的左右两侧所加的句点,其数目不必相同,如上例一,但是,为了对称和阅读时清楚,例一也可以写作
p..pq
把不必要的左侧一个句点加上.
(乙)
(pq)(pq)
(丙)同侧的句点多的联结词较句点少的联结词的分离力强,例如
pq.:rp..rq
应被理解为
(pq)((rp)(rq)).
无括号分组法
这种方法用大写拉丁字母作联结词如下:
N A K C
分别相当于
并且不把联结词写在变项中间而写在变项之前,即将
p 写作 NP
pq 写作 Cpq
pq 写作 Apq
pq 写作 Kpq
这种写法是唯一的.
不同的重言式系统
最早的公理系统
1)p(qp).
2)(p(qr))((pq)(pr))
3)(pq)(qp).
以和为初始联结词的公理也可以简化为一个.
五个初始联结词的公理系统
(1) p(qp).
(2)(p(pq))(pq).
(3)(pq)((qr)(pr)).
(1)pqp.
(2) pqq.
(3) (pq)((pr)(pqr)).
(1)ppq.
(2) qpq.
(3) (qr)((qr)(pqr)).
(1)(pq)(pq).
(2) (pq)(qp).
(3) (pq)((qp)(pq)).
(1)(pq)(qp).
(2) pp.
(3) pp.
以上每组公理说明了一个联结词的特征.
(三)以公理图示为出发点的系统
有的系统不把用对象语言表达的公理作为出发点,而采用以语法语言表示的图示,例如以和为初始联结词的公理图示为:
(1)A(BA).
(2)(A(BC))((AB)(AC)).
(3)(AB)(BA).
一切具有以上形式的公式都是公理。例如
(pp)(q(pp)).
可见,每一公理图示相当于无穷多条具体的公理,因之以公理图示为出发点实际上是从无穷多条公理出发,推演可以比较简便,不必作代入.
总体看来,各种公里系统的目的和作用不同,希尔伯特-贝奈斯那样的系统,其目的是把各个逻辑联结词的特征加以刻画.
多值逻辑
(一)定义:在二值逻辑里,一命题或真或假,但不能既真既假,命题的真值有二,真或假,推而广之,一命题也可以有三值,四值,五值等等,以至于可数无穷多值,研究这种命题之间的逻辑关系的是多值逻辑.
(二)多值逻辑的真值函项