文档介绍：xx师范大学网络教育本科论文
论文题目:求极限方法的探析
学生姓名: xxx
指导教师: xxx
学科专业: 数学与应用数学
学号: xxx
学****中心: xxx
东北师范大学远程与继续教育学院
2015年04月
独创性声明
本人对本文有以下声明:
本人所呈交的论文是在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果,已按相关要求及时提交论文稿件,最终形成本文;
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论文作者签名: xxx
日期: 2015 年 04 月
摘要
极限是高等数学基本概念和核心内容之一。数学分析几乎所有的概念都离不开极限,从方法论的角度讲,用极限方法来研究函数,本论文主要归纳了数学分析中求极限一些方法如:利用两个准则求极限、极限的四则运算性质求极限、两个重要极限公式求极限、函数的连续性求极限、无穷小量的性质求极限、等价无穷小量代换求极限、导数的定义求极限、中值定理求极限、洛必达法则求极限、级数收敛的必要条件求极限、泰勒展开式求极限、换元法求极限。并结合具体的例子,指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
关键词:极限;函数;方法
前言
极限概念的形成经历了漫长的岁月。早在两千多年前,我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,惠施提出了无限变小的过程,这是我国古代极限思想的萌芽。到18世纪末、19世纪初,微积分的基本内容和理论形式已经建立,但是微积分的一些基本概念都还没有脱离它们的物理和几何模型,在很大程度上还带有经验性和直观性。19世纪后半叶,德国的维尔斯特拉斯(-1897)提出了关于极限的纯算术定义,发明了“”语言来表述极限概念以及数学分析中的所有基本概念。高等数学是以函数为研究对象,以极限理论和极限方法为基本方法,以微积分学为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。
高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值,因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终,许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。
求解函数极限的方法很多,函数极限计算灵活多变,每种类型都有不同方法,本文将主要探究用不同的方法求解问题,具有技巧性,力求用最简单的方法解决问题,并列举了大量的方法,便于解决不同类型的极限,系统的给出极限的各种求解方法。
一、极限的求法
(一) 定义法
例1 按定义证明,这里为正数
证:,则当时,便有即从而就证明了
(二) 利用极限四则运算法则
极限的四则运算性质:1、两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。2、两收敛数列且作除数的数列的极限不为零,则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中,一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之,分母分解因式,约去趋于零但不等于零的因式;分子,分母有理化消除未定式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项。
例2 求下列极限
(1)
(2)
(3)
(4) 已知求
解:(1)
(2)
(3)
(4) 因为
所以
(三)利用两个准则求极限
1 .单调有界准则
内容:单调有界数列必有极限,而且极限唯一。
利用单调有界准则求极限,关键先要证明数列的存在,然后根据数列的通项递推公式求极限。
例3 证明下列数列的极限存在,并求极限。
证明:从这个数列构造来看显然是单调增加的。我们可以利用归纳法可证。又因为,,……, 所以得。因为前面证明是单调增加的。两端除以得。因为,则, 从而所以即是有界的。根据单调有界定理有极限,而且极限唯一。令则
则. 因为解方程得
若一正整数,当时有且则有。
利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和,使得。
例4 求的极限
解:因为单调递减,所以存在最大项和最小项
则
又因为
所以
(四)利用两个重要的极限来求函数的极限
(1) 用来求极限,其中的扩展形为:
令,当或时,则有或
例5 求极限
解:, 且当时
故
例6 求极限