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全国中考数学圆综合综合中考模拟和真题分类汇总附解析
全国中考数学圆综合综合中考模拟和真题分类汇总附解析
全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题分类汇总附答案解析
一、圆的综合
,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,(﹣33,O),
C(3,O).
1)求⊙M的半径;
2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH.
3)在(2)的条件下求AF的长.
【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4.
【解析】
【解析】
(1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出
BT的长,再由勾股定理即可求出
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BM的长;
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2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,从而可得出结论;
(3)先由(1)中△BMT的边长确立出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG
的长,由平行四边形的判判断理判断出四边形AFCG为平行四边形,从而可求出答案.
【详解】
1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM,∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径,
1
∴BT=TC=BC=23,
2
∴BM=124=4;
2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,
∵CE⊥AB,
∴∠HBC+∠BCH=90°
在△COF中,
∵∠OFC+∠OCF=90,°
∴∠HBC=∠OFC=∠AFH,
在△AEH和△AFH中,
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AFHAEH
∵AHFAHE,
AHAH
∴△AEH≌△AFH(AAS),
EH=FH;
3)由(1)易知,∠BMT=∠BAC=60°,作直径BG,连CG,则∠BGC=∠BAC=60°,
∵⊙O的半径为4,
CG=4,
连AG,
∵∠BCG=90,°
CG⊥x轴,
CG∥AF,∵∠BAG=90,°
AG⊥AB,∵CE⊥AB,
AG∥CE,
∴四边形AFCG为平行四边形,
AF=CG=4.
【点睛】
此题观察的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判断与性质,依据题意作出辅助线是解答此题的要点.
,以O为圆心,4为半径的圆与
x轴交于点A,C在⊙O上,∠OAC=60°.
(1)求∠AOC的度数;
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(2)P为
x轴正半轴上一点,且
PA=OA,连接
PC,试判断
PC与⊙O的地点关系,并说明
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原由;
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(3)有一动点
M从
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A点出发,在⊙O上按顺时针方向运动一周,当
S△MAO=S△CAO时,求
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动点
M所经过的弧长,并写出此时
M点的坐标.
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【答案】(1)60°;(2)见解析;(3)对应的M点坐标分别为:M1(2,﹣23)、M2
(﹣2,﹣23)、M3(﹣2,23)、M4(2,23).
【解析】
【解析】
1)因为∠OAC=60°,易证得△OAC是等边三角形,即可得∠AOC=60°.
2)由(1)的结论知:OA=AC,所以OA=AC=AP,即OP边上的中线等于OP的一半,由此可证得△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,由此可判断出PC与⊙O的地点关系.
3)此题应试虑多种状况,若△MAO、△OAC的面积相等,那么它们的高必相等,所以有四个切合条件的M点,即:C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点,可据此进行求解.
【详解】
1)∵OA=OC,∠OAC=60°,
∴△OAC是等边三角形,
故∠AOC=60°.
2)由(1)知:AC=OA,已知PA=OA,即OA=PA=AC;
1
∴AC=OP,所以△OCP是直角三角形,且∠OCP=90°,
2
而OC是⊙O的半径,
PC与⊙O的地点关系是相切.(3)如图;有三种状况:
①取C点关于x轴的对称点,则此点切合M点的要求,此时M点的坐标为:M1(2,﹣
3);
劣弧MA的长为:6044;
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1803
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②取C点关于原点的对称点,此点也切合
M点的要求,此时
M点的坐标为:M2(﹣2,
﹣23);
劣弧MA的长为:1204
8
;
180
3
③取C点关于y轴的对称点,此点也切合
M点的要求,此时
M点的坐标为:M3(﹣2,
23);
优弧MA的长为:240416;
3
当C、M重合时,C点切合M点的要求,此时M4(2,23);
优弧MA的长为:300
420
;
180
3
综上可知:当S△MAO△CAO
4
8
16
20
对应的M点坐
=S
时,动点M所经过的弧长为
,
,
,
3
3
3
3
标分别为:M1(2,﹣2
3
)、M
2(﹣2,﹣2
3)、M3(﹣2
,2
3)、M4(2,
23).
【点睛】
此题观察了切线的判断以及弧长的计算方法,注意分类议论思想的运用,不要漏解.
,AB为⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为弧ABD的中点,连接CD,CA.
1)求证:∠ABD=2∠BDC;
2)过点C作CH⊥AB于H,交AD于E,求证:EA=EC;
3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长度.
【答案】(1)证明见解析;(
9
2)见解析;(3)DE.
2
【解析】
【解析】
(1)连接AD,如图1,设∠BDC=α,∠ADC=β,依据圆周角定理获得
∠CAB=∠BDC=α,由
AB为⊙O直径,获得∠ADB=90°,依据余角的性质即可获得结论;
2)依据已知条件获得∠ACE=∠ADC,等量代换获得∠ACE=∠CAE,于是获得结论;
3)如图2,连接OC,依据圆周角定理获得∠COB=2∠CAB,等量代换获得
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,∴∠ADC=∠DAC=β,∴∠DAB=β﹣α,
∠COB=∠ABD,依据相似三角形的性质获得
OH=5,依据勾股定理获得
AB=AD2
BD2=26,由相似三角形的性质即可获得结论.
【详解】
1),设∠BDC=α,∠ADC=β,则∠CAB=∠BDC=α,
∵点C为弧ABD中点,∴?AC=CD?
∵AB为⊙O直径,∴∠ADB=90,°∴α+β=90,∴°β=90﹣°α,∴∠ABD=90﹣°∠DAB=90﹣°(β﹣α),∴∠ABD=2α,∴∠ABD=2∠BDC;
2)∵CH⊥AB,∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°,
∵∠CAB=∠CDB,∴∠ACE=∠ADC,
∵∠CAE=∠ADC,∴∠ACE=∠CAE,∴AE=CE;
3)如图2,连接OC,∴∠COB=2∠CAB,
∵∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB,∴∠COB=∠ABD,
OH
OC
1
∵∠OHC=∠ADB=90°,∴△OCH∽△ABD,∴
AB
,
BD
2
∵OH=5,∴BD=10,∴AB=
AD2
BD2=26,∴AO=13,∴AH=18,
∵△AHE∽△ADB,∴AH
AE
,即
18
=AE,∴AE=39,∴DE=9.
AD
AB
24
26
2
2
【点睛】
此题观察了垂径定理,相似三角形的判断和性质,等腰三角形的判断和性质,正确的作出辅助线是解题的要点.
,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.
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1)求证:PA是⊙O的切线;
2)过点C作CF⊥AD,垂足为点【答案】(1)证明见解析(2)2
【解析】
F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.
3
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试题解析:(1)依据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出
∠CAD+∠PAC=90进°而得出答案;
(2)第一得出△CAG∽△BAC,从而得出AC2=AG·AB,求出AC即可.
试题解析:(1)连接CD,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90,°
∴∠CAD+∠D=90,°
∵∠PAC=∠PBA,∠D=∠PBA,
∴∠CAD+∠PAC=90,°
即∠PAD=90°,
∴PA⊥AD,
∴PA是⊙O的切线;
2)∵CF⊥AD,
∴∠ACF+∠CAF=90,°∠CAD+∠D=90,°
∴∠ACF=∠D,
∴∠ACF=∠B,
而∠CAG=∠BAC,
∴△ACG∽△ABC,
∴AC:AB=AG:AC,
2
∴AC=AG?AB=12,
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,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,
BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.(1)求证:DA是⊙O切线;
(2)求证:△CED∽△ACD;
3)若OA=1,sinD=1,求AE的长.
3
【答案】(1)证明见解析;(2)2
【解析】
解析:(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;
2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;
3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可获得
DC2=DE?AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.
详解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.
∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°,∴AD⊥AB.
OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.
∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.
∠DAC=∠B,∴∠DAC=∠DCE.
∠D=∠D,∴△CED∽△ACD;
3)在Rt△AOD中,OA=1,sinD=1,∴OD=OA=3,∴CD=OD﹣OC=2.
3sinD
AD=OD2OA2=22.
AD
CD
,∴DE=
CD2
又∵△CED∽△ACD,∴
DE
=2,
CD
AD
AE=AD﹣DE=22﹣2=2.
点睛:此题主要观察的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判断,证得△DEC∽△DCA是解题的要点.
△ABC和⊙O如图搁置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.
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(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右挪动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
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(2)若两个图形同时向右挪动,△ABC的速度为每秒
2个单位,⊙O的速度为每秒
1个单
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位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
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(3)若两个图形同时向右挪动,△ABC的速度为每秒
2个单位,⊙O的速度为每秒
1个单
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位,同时△ABC的边长AB、、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?
【答案】(1)5
2;(2)5
2;(3)2042
2
3
【解析】
解析:(1)解析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC移至△A′B′处C,′A′与C′⊙O切于点E,连OE并延长,交B′于C′′的长,从而由三角
形运动的速度可得答案;
(2)设运动的时间为t秒,依据题意得:CC′=2t,DD′=t,则C′D′=CD+DD-CC′′=4+t-2t=4-t,
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由第(
1)的结论列式得出结果;
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(3)求出相切的时间,从而得出详解:(1)假设第一次相切时,
B点挪动的距离.
△ABC移至△A′B′处C,′
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如图1,A′C与′⊙O切于点E,连接OE并延长,交B′C于′F,
设⊙O与直线l切于点D,连接OD,则OE⊥A′C,′OD⊥直线l,由切线长定理可知C′E=C′D,
C′D=x,则C′E=x,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ACB=45,°
∴∠A′C′∠ACB=45′=,°
∴△EFC是′等腰直角三角形,
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∴C′F=2x,∠OFD=45°,
∴△OFD也是等腰直角三角形,
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