文档介绍：不等式期中复****讲义
一、知识点
不等式的性质
①对称性:a > bb > a
②传递性: a > b, b > ca > c
③可加性: a > b a + c > b + c
④可积性: a > b, c > 0ac > bc;
a > b, c < 0ac < bc;
⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d
⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ac > bd
⑦乘方法则:a > b > 0, an > bn (n∈N)
⑧开方法则:a > b > 0,
算术平均数与几何平均数定理:
(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)
(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)
推广:
4、设a∈R,b>0,则⑴a2/b≥2a-b;⑵a2/b≥a-b/4。
重要结论
1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,和xy有最大值S2/4。
明不等式的常用方法
比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式,则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还可以考虑作平方差。
综合法:从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件,逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。
不等式的解法
不等式的有关概念
同解不等式:两个不等式如果解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形:一个不等式变形为另一个不等式时,如果这两个不等式是同解不等式,那么这种变形叫做同解变形。
提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形
去分母、去括号、移项、合并同类项
不等式ax + b > 0的解法
①当a>0时不等式的解集是{x|x>-b/a};
②当a<0时不等式的解集是{x|x<-b/a};
③当a=0时,b>0,其解集是R;b≤0, 其解集是ф。
一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系
(4)绝对值不等式
a≤0时结果如何?
|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a},几何表示为:
º º
-a 0 a
|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},几何表示为:
º º
-a 0 a
小结:解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝对值的不等式,通常有下列三种解题思路:(1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法:| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a<f(x) < a;(3)平方法:| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)几何意义。
分式不等式的解法
一元高次不等式的解法
列表法解不等式的步骤
①整理把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)
②求根求出f(x)=0的根(称为界点)
③列表按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应的各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)
④解集根据所列表格,写出满足题目要求的不等式的解集
序轴标根法
把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正),然后分解因式,再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。
含有绝对值的不等式
性质中等号成立的条件是什么?
定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
|a| - |b|≤|a+b|
中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立
|a+b|≤|a| + |b|
中当且仅当ab≥0等号成立
推论1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|
推广:|a1 + a2 +…+ an| ≤|a1 | +| a2 | +…+ | an|
推论2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|
二、常见题型
特殊值
(一)利用不等式性质,判断其它不等式是否成立
1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( )C
A、若a>b,则|a|>|b| B、若a>b,则1/a<1/b
C、若a>b,则a3>b3 D、若a>b,则a/b>1
2、已知a<0.-1<b<0,则下列不等式成立的是(