文档介绍：课题
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教学内容
二次型及其标准形,用配方法化二次型成标准形,正定二次型
教学目标
掌握二次型、二次型的标准形等概念;
会用正交变换法及配方法将二次型化为标准形;
掌握正定二次型与正定矩阵的概念并能够判断二次型﹑实对称阵是否为正定的.
教学重点
用正交变换法化二次型为标准型;用配方法化二次型为标准型;
判定二次型的正定性
教学难点
将二次型问题转化为实对称阵对角化问题
双语教学内容、安排
实二次型:Real quadratic form; 正交化:orthogomalization
教学手段、措施
教学过程及教学设计
备注
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一、概念
n 个变量 x1 , x2 , ……, x n 的二次齐次函数
f (x1 , x2 , ……, xn ) =
称为二次型.
2、二次型的矩阵表示法
于是(1)式可写成
f (x1 , x2 , ……, xn )
对二次型(1) ,记
则二次型(1) 又表示为f (x1 , x2 , ……, xn )=
引入:对二次曲线做变化
对于n 元的二次齐次多项式,能否存在一个线性变换将其变为只含平方项的二次齐次多项式
其中 A 为对称矩阵,叫做二次型 f (x1 , x2 , ……, xn ) 的矩阵,也把 f (x1 , x2 , ……, xn ) 叫做对称矩阵 A 的二次型.
对称矩阵 A 的秩, 叫做二次型 f (x1 , x2 , ……, xn ) = xTA x 的秩.
二次型 f (x1 , x2 , ……, xn )经过可逆的线性变换
即用(3) 代入(1) ,还是变成二次型.
可逆线性变换(3),记作x = C y , 把可逆的线性变换 x = C y 代入二次型 f = xTA x , 得二次型
f = xTA x = (C y)TA(C y) = yT(C TAC ) y
就是说,若原二次型的矩阵为 A ,那么新二次型的矩阵为CTAC , 其中 C 是所用可逆线性变换的矩阵.
例 1 用矩阵记号表示二次型
解二次型的矩阵为
那么
f (x1 , x2 , ……, xn )
g(y1 , y2 , ……, yn )
x = C y
可逆线性变换
( AT = ) A
B ( = BT )
C TAC =
定理设有可逆矩阵 C ,使 B = CTAC ,如果 A为对称矩阵,则B也为对称矩阵,且R(A) = R(B) .
证因为 A 是对称矩阵, 即 AT = A,所以
BT = ( CTAC )T = CTAT(CT)T = CTATC = B ,
即 B 为对称矩阵.
因为 B = CTAC ,所以R(B) ≤R(AC) ≤R(A) . 因为A=( CT )–1BC –1,
所以 R(A) ≤R( BC -1) ≤R(B) , 故得 R(A) = R(B).
思考:那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵 A 的关系是什么?
二、将二次型化为标准形
主要问题:求可逆的线性变换
将二次型(1) 化为只含平方项,即用(3) 代入(1) ,能使
f (x1 , x2 , ……, xn )
称(4)为