数值计算方法练习题.pdf

文档介绍：该【数值计算方法练习题 】是由【小s】上传分享，文档一共【46】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【数值计算方法练习题 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:.
数值计算方法练习题
习题一
,试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对
误差限。
(1);(2);(3);
(4);(5);(6);
(7);
,问各近似值分别应取几位有效数字?
,估计下列各近似数的误差限。
(1);(2);(3)
,取,利用下列等价表达式计算,哪一个的结果最好?为什么?
(1);(2);(3)
(4)

若(三位有效数字),计算时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
,使其至少具有四位有效数字(要求利用。
。:.
(1);(2)
(3);(4)
,求证:
(1)
(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差增大;反向递推时误差函数减小。
>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=lnx的误差限。
,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
?
(1)
(2)
*=,是位有数数字。
,利用式计算误差最小。
四个选项:
习题二
,求的二次值多项式。
,并估计插值误差。
,分别用线性插值与二次插值求的近似值,并估计截断误
差。

:.
,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
,求及的值。
,并用其计算和的近似值。

F(x)
,解答下列问题
(1)试列出相应的差分表;
(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。

f(x)
,试问:
(1)时,积分
(2)为何值时,积分?


(取五位有效数字),求方程
。
,求三次埃尔米特插值多项式。
表10
x01
y01
y¢-39
,利用基函数方法,构造四次埃尔米特插值多项式。:.
表11
X012
Y0-23
y¢01
,用分段线性插值求的近似值,要使截断误
差不超过,问函数表的步长h应怎样选取?
,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,并估计截断
误差。
14、给定的数值表

15、在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,
函数表的步长h应取多少?
16、若,求和
17、若互异,求
的值,这里p≤n+1.
18、求证
19、已知的函数表
求出三次Newton均差插值多项式,计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
20、给定f(x)=cosx的函数表
:.
.
(x),使它满足
,试求的表达式,并证明是
[-1,1]上带权的正交多项式序列.
23、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.
24、填空题
(1)满足条件的插值多项式p(x)=().
(2),则f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5]=().
(3)设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=(),
=().
(4)设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中
,则=(),=()
习题三
,试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。
x----
y-
。:.
(1)(2)
,使它与下表中的数据相拟合,并计算均方误差。
X1925313844

,需要观察水份的渗透速度,测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之
间的关系为,试用最小二乘法确定参数a、s。
t(秒)1248163264
W(克)

。并利用所求的离散正交多项式系,对第二题中的数据求二次拟合多项式。
、米,为了提高测量的可靠性,又测量到
米。试合理地决定长度和的值。
习题四
,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。
(1);
(2);
(3);
(4);
,并估计误差。:.
:
(1),8等分积分区间;(2),4等分积分区间;
(3),8等分积分区间;(4),6等分积分区间。
,问将积分区间[a,b]分成多少等分,才能保证误差不超过e(不
计舍入误差)?

(1);(2);
(3)
提示:利用泰勒公式。
,要求相邻两次龙贝格值的差不超过。
(1);(2);

以及当n=3,6,12时的三个值,利用外推算法求的近似值。
,并比较结果精度(积分准确值。
(1)复化梯形法,n=16;(2)复化辛甫生法,n=8;
(3)龙贝格算法,求至R2;(4)三点高斯—勒让德公式;
(5)五点高斯—勒让德公式。:.
,使其代数精度尽可能高。
(x)的值见表6-13。用三点公式求函数在x=,,,
并估计误差。
=(利用数表6-13)。

f(x)
=2处的一阶导数值,取h=,加速二次。
13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.
14、用Simpson公式求积分,并估计误差
15、确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.
(1)
(2)
(3)
16、计算积分,若用复合Simpson公式要使误差不超过,问区间要分为
多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间应分为多少等分?
17、用Romberg求积算法求积分,:.
18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.
19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分.
习题五

(1);(2);(3)
对(1)(2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点,右下方矩阵是否对称,列主元在何处,消元过程
是否符合上题结论。

(1)
(2)
,并用此分解法解对应的线性方程组。
,求及。
5、:.
6、用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
7、用Doolittle分解法求习题5(1)方程组的解.
8、下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯一?
9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中
10、用平方根法解方程组
11、设,证明
12、设计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数.
13、设为上任一种范数,是非奇异的,定义,证明
14、求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计.
,即
,即:.
15、是非题(若"是"在末尾()填+,"不是"填-):题目中
(1)若A对称正定,,则是上的一种向量范数()
(2)定义是一种范数矩阵()
(3)定义是一种范数矩阵()
(4)只要,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵,U为非奇上三角阵()
(5)只要,则总可用列主元消去法求得方程组的解()
(6)若A对称正定,则A可分解为,其中L为对角元素为正的下三角阵()
(7)对任何都有()
(8)若A为正交矩阵,则()
习题六
—塞德尔迭代法是否收敛?若收敛,写出其迭代格式;若
下收敛,能否将方程变形,使之用雅可比迭代法或高斯—塞德尔迭代法时收敛?
(1);(2);
(3);(4);
(取初值
):.
。
(1)
(2)
取,并判别此迭代是否收敛?
。
取,并判别此迭代是否收敛?
,序列敛于零矩阵.
收

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.
(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到
为止.
:.
证明:解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散.
=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛?
≠0,用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
,
(分别取ω=,ω=1,ω=)
精确解,要求当时迭代终止,并对每一个ω值确定迭代次数.
,
那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

(1)要使应满足().
(2)已知方程组,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收
敛速度R(B)=().
(3)设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是().
(4)用GS法解方程组,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足().
(5)给定方程组,(),且0<ω<2时SOR迭代法收敛.
习题七:.
,并求出其隔根区间。
(1);(2)
(3);(4)
(3,4)中有一实根,若用二分法求此根,使其误差不
超过,问应将区间对分几次?并请用二分法求此根。
,判别能否直接将其写成迭代格式而后求解?如不能,将方程变形,给出一
个收敛的迭代格式。
(1);(2)
,对方程的下列四种等价变形,判断各迭代格式的收敛性,选
一种收敛最快的迭代格式,求出具有四位有效数字的近似根。
(1)(2)(3)
(4)
,选择合适的迭代格式求这些根,允许误差
-6,试估计所求根的重数。
表2-6
kXxk-xk1
k-




:.

,.
=,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式.
(1),迭代公式.
(2),迭代公式.
(3)迭代公式.
,
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.

(1)证明对,均有,其中为方程的根.
(2)取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过,并列出各次迭代值.
(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.
,设对一切x,存在,,
迭代法均收敛于方程的根.
(2)、(3)的近似根,精确到
12用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字.
(1)在=2附近的根.
(2)在=1附近的根.
,求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性.
习题八
41
321
141
A230,A
12141
103
14

试用格希哥林圆盘确定A的特征值的界。
x(x,x,...,x)Txx
,若i,
n
aa
iiij
j1
试证明特征值的估计式j:.
232

A1034

361y(0)(1,1,1)T

,迭代初值取。
621

A231

111
,迭代初值取
y(0)(1,1,1)T
。
ARnn
,A的正交分解为A=QR,作逆序相乘A1=RQ,试证明
(1)若A对称则A1也对称;
(2)若A是上Hessenberg阵,则A1也是上Hessenberg阵。
11
A
12

(1)任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代,求A的强特征值和特征向量;
(2)用QR算法作一次迭代,求A的特征值;
(3)用代数方法求出A的特征值和特征向量,将结果与(1)和(2)的结果比较。
201

A021

111

A
(1)用Householder变换化A为对称三对角阵1。
AA
(2)用平面旋转阵对1进行一步QR迭代计算出2。
。
421310

(1)A010,(2)A121

023011
nnx(1)
AR
,且已知其强特征值1和对应的特征向量,
Hx(1)kek0,e(1,0,...,0)TRn
(1)证明:若构造Householder阵H使1(常数1),则必有
x
HAH1

0A
1
AR(n1)(n1),xR1(n1)A
其中1,且A的其余n-1个特征值就是1的特征值。
32
A
324,x(1)(2,1)T
(2)以为例,已知1,用以上方法构造H阵,并求出A的第二个

特征值2。
。
310411

(1)A142,(2)A132

021123

习题九:.
=,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题
(1);(2)
准确解:(1);(2);
—库塔法解第1题中的初值问题,比较各法解的精度。
。
,并指出其阶数。
(1)
(2)
(3)
(4)
=,计算到x=(保留到小数点后4
位).
=,计算到x=,并与准
确解相比较.
()是二阶的,并求其局
部截断误差主项.
-K方法求解初值问题取步长h=.

10.(1)用Euler法求解,步长h应取在什么范围内计算才稳定?
11.(2)若用梯形法求解,对步长h有无限制?:.
12.(3)若用四阶R-K方法求解,步长h如何选取?

求解初值问题取h=.

,使方法具有尽可能高的阶数,并求出局部截断误差主项.
习题一
1.(1)5,,;(2)2,,;
(3)4,,;(4)5,,;
(5)1,,;(6)2,,;
(7)6,,
2.;;
3.(1);(2);(3)
(3)个结果最好
。从计算到时,误差约为
6.,
7.(1);(2);
(3);(4)
:.
求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,有
已知x*的相对误差满足,而,故
即

有5位有效数字,其误差限,相对误差限
有2位有效数字,
有5位有效数字,
,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)
(2)

13.
习题二
1.
2.;,介于x和0,1决定的区间内;
,当时。
,;,
4.
,0
6.,
:.

向后插值公式
8.(1);(2)

10.
11.
12.
13.
14、解仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计。线性插值时,
,用Newton插值
误差限,因,
故
二次插值时,,,,作二次Newton插值
误差限,故
15、解:用误差估计式,:.
令
因
得
16、解:由均差与导数关系
于是
17、解:,由均差对称性
可知当有
而当P=n+1时
于是得
18、解:只要按差分定义直接展开得
:.
19、解:根据给定函数表构造均差表
当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=+(x-)+(x-)(x-)
由此可得f()N3()=
由余项表达式可得
由于
20、计算,用n=4得Newton前插公式
误差估计
其中
计算时用Newton后插公式()
:.
误差估计得

21、解:这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。此处可先造使它满足
,显然,再令
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
由p(2)=1求出A=,于是
22、解:因
23、解:本题给出拟合曲线,即,故法方程系数
法方程为
解得:.
最小二乘拟合曲线为
均方程为
24、解答:
(1)
(2)
(3)
(4)
习题三
1.
,
2.(1);(2)
,其中c为任意常数
3.
4.,
5.,,
:.
6.,。
习题四
1.
(1),,代数精度为3;(2),,
代数精度为3;(3),或,,代数精度
2;
(4),代数精度为3。
2.,
3.(1),;
(2);
(3),;
(4),
4.,
5.(1);(2);(3)
6.(1),

8.(1);(2)
;(3);
(4);(5)
9.,,
10.,,
:.

13、解本题只要根据复合梯形公式及复合Simpson公式()直接计算即可。
对,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求出,
按复合Simpson公式求得,积分
14、解:直接用Simpson公式得
估计误差,因,故
15、解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。
(1)令代入公式两端并使其相等,得
解此方程组得,于是有
再令,得
故求积公式具有3次代数精确度。
(2)令代入公式两端使其相等,得:.
解出得
而对不准确成立,故求积公式具有3次代数精确度。
(3)令代入公式精确成立,得
解得,得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。
16、解:由Simpson公式余项及得
:.
即,取n=6,即区间分为12等分可使误差不超过
对梯形公式同样,由余项公式得
即
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
17、解:本题只要对积分使用Romberg算法(),计算到K=3,结果如下表所示。
于是积分,
18、解:本题直接应用三点Gauss公式计算即可。
由于区间为,所以先做变换
于是
本题精确值
19、解:本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算:.
即
于是,因n=2,即为三点公式,于是
,即
故
习题五
1.(1);(2);(3)
2.(1)(,,,)T;(2)(-,2,1,1)T

(1);(2)
对第2题中的系数矩阵
(1)
:.
(2)
,,5;6,,8
,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
故
:先选列主元,2行与1行交换得
消元
3行与2行交换消元
回代得解
行列式得
:由矩阵乘法得:.
再由求得
由解得
:A中,若A能分解,一步分解后,,
相互矛盾,故A不能分解,但,若A中1行与2行交换,则可分解为LU
对B,显然,但它仍可分解为
分解不唯一,为一任意常数,且U奇异。C可分解,且唯一。
:用解对三角方程组的追赶法公式计算得
:用分解直接算得
由及求得
:
即,另一方面
故:.
:
故
:根据矩阵算子定义和定义,得
令,因P非奇异,故x与y为一对一,于是
:记
则的解,而的解
故
而
由()的误差估计得
表明估计略大,是符合实际的。
15、答案:(1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)(-)(5)(+)(6)(+)(7)(-)(8)(+):.
习题六
1.
(1)(2)(3)(4)
雅可比迭代法收敛发散收敛发散
高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散
:塞德尔迭代法:
3(1)范数,故雅可比迭代法收敛
(2)范数,由可判定雅可比法收敛。
,因此塞德尔迭代法收敛
与3题(1)迭代结果相比较,这里收敛速度快。
:由于而:.
故
:因为
具有严格对角占优,故J法与GS法均收敛。
(2)J法得迭代公式是
取,迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
取
:Jacobi迭代为
其迭代矩阵
谱半径为而Gaus