线性代数A试题与答案.pdf

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《线性代数》试题与答案
一、填空题(每空格2分,共14分)
,项aaaa所带的符号是号.
ij21133442
10
,则A2;An.
12
,B是3阶方阵,A2,B3,则ABT.
xx0的一个基础解系是.
123
A,且A1,则A的特征值为.
001

a1b有三个线性无关的特征向量,则ab.

100
二、选择题(每小题3分,共15分)
,第三行元素依次为1,2,0,1,对应的余子式依次为5,3,7,4,
则该行列式的值为()
(A)3(B)5(C)15(D)5
,A*为伴随矩阵,则行列式A*()
(A)An1(B)An(C)A1(D)A
,则必有()
(A)r(A)r1(B)r(A)r1(C)r(A)r1(D)r(A)r
,,线性无关,若向量组,,k线性相关,则
123122313
常数k()
(A)0(B)1(C)2(D)1
《线性代数》试题A与答案第1页(共6页)
200100

2x2与020相似,则()

31100y
(A)x0,y2(B)x1,y2(C)x2,y1(D)x1,y1
三、计算题(每小题9分,共27分)
111x1
11x11
.
1x111
x1111
111

231,且AXA3X,求矩阵X.

104

(1,3,4,2),b(2,1,3,1),c(3,1,2,0),d(4,3,1,1)的
秩和一个极大无关组,并问向量组的所有极大无关组有几组?.
四、计算、讨论题(每小题12分,共36分)
1203

102,向量b1,若非齐次线性方程组AXb对应

1t5t4
的齐次方程组有无穷多解,求t的值和非齐次线性方程组的全部解.
741

471的全部特征值为3,11,求:(1)a的值;
123
44a
(2)11对应的一个特征向量;(3)判别矩阵A可否相似对角化?
3
x24x24x22axx2xx
123121323
值范围,使得f是正定二次型.
五、证明题(共8分)
设,是矩阵A的对应于两个不同特征值,的特征向量,求证:,线性无
121212
关.
《线性代数》试题A与答案第2页(共6页)
B
《线性代数》试题
一、填空题(每空格2分,共14分)
,项aaaa所带的符号是号.
ij13342142
11
,则A2;An.
02
,A2,则3(A1)AT.
,,线性无关,向量组,,k线性相关,则常
123122313
数k.
,则B2A33A2有个特征值为.
(1,2,1)T,(1,1,a)T,则a.
二、选择题(每小题3分,共15分)
,则该行列式中()
(A)一行元素全为零(B)两行元素相等
(C)两行元素对应成比例(D)有一行可以用另外两行线性表出
,A*为伴随矩阵,则(2A)*()
(A)2A*(B)4A*(C)8A*(D)16A*
,则必有()
(A)r(A)r(B)r(A)r(C)r(A)r(D)r(A)r
,B满足ABO,则A的行向量组与B的行向量组()
(A)分别都线性无关(B)只有一个线性无关
(C)分别都线性相关(D)以上答案均错
《线性代数》试题A与答案第3页(共6页)
100100

002与0b0相似,则()

01a002
(A)a1,b1(B)a1,b1(C)a1,b1(D)a1,b1
三、计算题(每小题9分,共27分)
1012
1103
.
1110
10203040
011

221,且AXA2X,求矩阵X.

103

(1,0,1,0),b(1,1,0,1),c(1,2,1,2),d(1,1,0,1)的
秩和一个极大无关组.
四、计算、讨论题(每小题12分,共36分)
12121

01aa,向量b2,若非齐次线性方程组AXb对应

1a01k
的齐次方程组的基础解系含有两个解向量,且AXb有解,求a,k的值和非齐次线性方
程组的全部解.
001

a11,(1)求A的全部特征值;(2)若A相似于某个对

100
角矩阵,求a的值;(3)在(2)的情况下,求出A的小于零的特征值所对应的一个特征
向量.
3x22x22x22xx,并判别f是否为正定
12323
二次型?
五、证明题(共8分)
《线性代数》试题A与答案第4页(共6页)
设X*是非齐次线性方程组AXb的一个解,X,X是对应的齐次方程组的一个基
12
础解系,求证:向量组X*,X,X线性无关.
12
A
试题答案:
一、填空题(每空格2分,共14分)
1010
.;..(1,1,0)T,(1,0,1).
342n12n
二、选择题(每小题3分,共15分)
.
三、计算题(每小题9分,共27分)
133

.320.

037

2;a,b为一个极大无关组;极大无关组有6组.
四、计算、讨论题(每小题12分,共36分)
x12C12
1
3;全部解为x2C或X2C1.
2
xC01
3
1

2.(1)a3;(2)1;(3)不可相似对角化.

0
1a1

a42;2a1.

124
五、证明题(共8分)
《线性代数》试题A与答案第5页(共6页)
提示:设有常数x,x使得xxO,然后推出x0,x0.
12112212
B
试题答案:
一、填空题(每空格2分,共14分)
1312n1
.;....
0402n
二、选择题(每小题3分,共15分)
.
三、计算题(每小题9分,共27分)
122

1..210.3;a,b,c.

025
四、计算、讨论题(每小题12分,共36分)
x3C310
11
x2CC211
1,k1;212或XCC.
xC01120
31
xC001
42
1

2.(1)1,1;(2)故a1;(3)0.
123
1
300x
1
021,Xx,fXTAX;f是正定二次型.
2
012x
3
五、证明题(共8分)
提示:设有常数k,k,k使得kX*kXkXO,推出k0,kk0.
01201122012
《线性代数》试题A与答案第6页(共6页)