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椭圆
椭圆概念
平面内与两个定点F、F的距离的和等于常数2a〔大于|FF
|〕的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
1 2 1 2
的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。假设M为椭圆上任意一点,则有|MF
1
|+|MF
2
|=2a。
+
x2
椭圆的标准方程为:
a2
y2=1〔a>b>0〕〔焦点在x轴上〕或y2+x2b2 a2 b2
=1〔a>b>0〕〔焦点在y轴
上〕。
注:①以上方程中a,b的大小a>b>0,其中b2
=a2-c2;
x2 y2 y2 x2
②在 +
a2
=1和 +
b2 a2
=1两个方程中都有a>b>0的条件,要分清焦点的位置,只要看x2和y2的分
b2
+
x2 y2
母的大小。例如椭圆 =1〔m>0,n>0,m¹n〕当m>n时表示焦点在x轴上的椭圆;当m<n时
m n
表示焦点在y轴上的椭圆。
y
M
F1
o
F2
x
椭圆的性质
+
x2
①范围:由标准方程
a2
y2=1知|x|£a,|y|£b,说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里;
b2
②对称性:在曲线方程里,假设以-y代替y方程不变,所以假设点(x,y)在曲线上时,点(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以-x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。假设同时以-x代替x,-y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心
叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令
x=0,得y=±b,则B(0,-b),B(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y=0得x=±a,即A(-a,0),
1 2 1
A(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
2
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段AA、BB
分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长
1 2 1 2
半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtDOBF
2 2
中,|OB
2
|=b,|OF
2
|=c,|BF
2 2
|=a,
且|OF
2
|2=|BF|2
2 2
|OB
2
|2,即c2
=a2-b2;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e=c叫椭圆的离心率。∵a>c>0,∴0<e<1,且e越接近1,c就
a
越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时
椭圆越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2
=a2。
例1、⑴动点P到点F(0,-2),F(0,2)的距离之和为12,求动点P的轨迹方程.
1
⑵求经过点(2,3)且与椭圆9x2+4y2
2
=36有共同的焦点的椭圆的标准方程.
⑴由椭圆定义可知,动点P的轨迹是椭圆,且焦点是F(0,-2),F(0,2),∴c=2.
∵PF
1
PF
2
1 2
=12,∴2a=12,∴a=6,
∴b2=a2-c2=36-4=32
∴所求的轨迹方程为
x2+y2
=1.
32 36
5 x2+ y2
+
⑵∵椭圆9x2+4y2=36的焦点为〔0,±
〕,则可设所求椭圆方程为: =1(m>0)
m m 5
4
将x=2,y=3代入上式得: + 9
=1,解得:m=10或m=-2〔舍去〕
m m+5
∴所求椭圆的方程为:x2+y2=1.
10 15
例2B、C是两个定点,BC=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.
解:如图,以直线BC为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系,则B(-3,0),C(3,0).
+
x2
∴由椭圆定义及标准方程学问可知
y2=1
25 16
又∵A、B、C三点不共线,∴y¹0.
+
x2
∴所求的点的轨迹方程为
y2=1(y¹0)
25 16
假设点F是定直线l外肯定点,动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0<e<1),则点M的轨
迹是椭圆.
x
椭圆上的点M(x,y)到焦点F(c,0)的距离与它到直线
Ml
a2
c 的距离之比等于离心率. F
x a2 x a2
直线 c 叫做椭圆相应于焦点F2(c,0)的准线,相应于焦点F1(-c,0)的准线方程是 c
椭圆上一点M(x0,y0)到左焦点F1(-c,0)和右焦点F2(c,0)的距离分别是|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0
x2
椭圆的两条准线方程为 y=±9,离心率为,求此椭圆的标准方程 .8
+y2=1
9
椭圆中心在原点,焦点在x轴上,点P为直线x=3与椭圆的一个交点,假设点P
,求椭圆的方程.
双曲线
双曲线的概念
平面上与两点距离的差确实定值为非零常数的动点轨迹是双曲线〔||PF
1
|-|PF
2
||=2a〕。
留意:①式中是差确实定值,在0<2a<|FF
|条件下;|PF
|-|PF
|=2a时为双曲线的一支;
1 2 1 2
|PF
|-|PF
|=2a时为双曲线的另一支〔含F
的一支〕;②当2a=|FF
|时,||PF
|-|PF
||=2a表示两条射
2 1 1
1 2 1 2
线;③当2a>|FF
|时,||PF
|-|PF
||=2a不表示任何图形;④两定点F,F
叫做双曲线的焦点,|FF
|叫做
1 2 1 2 1 2 1 2
焦距。
双曲线的性质
①范围:从标准方程
x2-y2a2 b2
=1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线x=±a的外侧。即
x2³a2,x³a即双曲线在两条直线x=±a的外侧。
-
x2 y2
②对称性:双曲线
a2 b2
=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点
-
x2 y2
是双曲线
a2 b2
=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
-
x2
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
a2
y2=1的方程里,对称轴是x,y轴,所
b2
以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A(-a,0)A
2
(a,0),他们是双曲线x2-y2
a2 b2
=1的顶点。
令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
留意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的〔椭圆有四个顶点〕,双曲线的顶点分别是实轴的两个
端点。
实轴:线段AA
2
叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB
2
叫做双
曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:留意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
x2
图上看,双曲线
a2
y2b2
=1的各支向外延长时,与这两条直线渐渐接近。
⑤等轴双曲线:
定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a=b;
等轴双曲线的性质:〔1〕渐近线方程为:y=±x ;〔2〕渐近线相互垂直。
留意以上几共性质与定义式彼此等价。亦即假设题目中消灭上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其
他几个亦成立。
留意到等轴双曲线的特征a=b,则等轴双曲线可以设为:x2
y2
=l(l¹0) ,当l>0时交点在x轴,
当l<0时焦点在y轴上。
x2
⑥留意
y2
=1与y2
x2
=1的区分:三个量a,b,c中a,b不同〔互换〕c一样,还有焦点所在的坐标
16 9 9 16
轴也变了。
抛物线
抛物线的概念
平面内与肯定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程y2
=2px
(p>0)叫做抛物线的标准方程。
留意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F〔
抛物线的性质
p,0〕,它的准线方程是x=-p ;
2 2
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的状况,所以抛物线的标准方程还有其
他几种形式:y2
=-2px,x2
=2py,x2
=-、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
下表:
标准方程
图形
y2=2px
(p>0)
ly
o F x
y2=-2px
(p>0)
y
l
F o x
x2=2py
(p>0)
y
F
l o x
x2=-2py
(p>0)
x³0
x轴
x£0
x轴
y³0
y轴
y£0
y轴
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
e=1
e=1
e=1
e=1
焦点坐标
( ,0)
2
p
(- ,0)
p
p
2
(0, )
2
(0,- )
p
2
准线方程
x=-p
2
x=p
2
y=-p
2
y=p
2
范围
对称性
顶点
离心率
说明:〔1〕通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;〔2〕抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;〔3〕留意强调p的几何意义:是焦点到准线
的距离。
高考数学圆锥曲线局部学问点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,假设某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:假设曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P(x,y)在曲线C上Ûf(x,y
)=0;点P(x,y)不在曲线
C上Ûf(x,y)≠0。
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
两条曲线的交点:假设曲线C,C
的方程分别为f(x,y)=0,f(x,y)=0,则点P(x,y)是C,C
的交点
1 2
f(x,y)=0
1 2 0 0 0 1 2
Û{1
f
2
0 0
(x,y
0 0
)=0
方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没
有交点。
二、圆:
1、定义:点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(-D,-E)半径
2 2
D2+E2-4F
是 。配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
D E
)2+(y+ )2=D2
+E2-4F
2
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-
D E
,- );
2 2
2 2 4
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x,y),则|MC|<rÛ点M在圆C内,|
0 0
MC|=rÛ点M在圆C上,|MC|>rÛ点M在圆C内,其中|MC|=(x
0
-a)2
(y
0
-b)2。
直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交Û有两个公共点;直线与圆相切Û有一个公共点;直线与圆相离Û没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统肯定义:
Aa+Bb+CA2+B2
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e
>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0
<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
到两定点F,F
的距离之
双曲线
抛物线
1 2 ,F的距离之差的
和为定值2a(2a>|FF|)的 1 2
12 确定值为定值2a(0<2a<|FF|)
点的轨迹
定义
与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
〔0<e<1〕
12
的点的轨迹
.〔e>1〕
与定点和直线的距离相等的
点的轨迹.
点集:({M||MF+|MF| 点集:{M||MF|-|MF|.
点集{M||MF|=点M到直
轨迹条件 1 2 1 2
=2a,|F
F|<2a}.
=±2a,|FF|>2a}.
线l的距离}.
12 22
图形
方
标准 x2
方程 a2
程
y2b2
=1(a>b>0)
x2-y2a2 b2
=1(a>0,b>0)
y2=2px
参数
方程
ìíx=acosq
(参数q为离心角〕
îy=bsinq
ìíx=asecq
(参数q为离心角〕
îy=btanq
ìx=2pt2
íy=2pt
î
(t为参数)
范围
─a£x£a,─b£y£b
|x|³a,yÎR
x³0
中心
原点O〔0,0〕
原点O〔0,0〕
顶点
(a,0),(─a,0),
(0,b),(0,─b)
(a,0),(─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
x轴,y轴;
实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F(c,0),F(─c,0)
1
2
F(c,0),F(─c,0)
1 2
F(p,0)2
x=±
a2
c
x=±
准
线
a2
c
p
x=-
2
准线垂直于长轴,且在椭圆
外.
准线垂直于实轴,且在两顶点的
内侧.
准线与焦点位于顶点两侧,
且到顶点的距离相等.
焦距
2c〔c=
a2-b2〕
2c〔c=
a2+b2
〕
离心率
e=c(0<e<1)
a
e=c(e>1)
a
e=1
【备注1】双曲线:
2
⑶等轴双曲线:双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率e= .
⑷共轭双曲线:以双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,-
a2
y2=l与
b2
x2-y2
=-l互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:x2-y2
=0.
a2 b2 a2 b2
⑸共渐近线的双曲线系方程:x2-y2
=l(l¹0)的渐近线方程为x2-y2=0假设双曲线的渐近线为x±y
=0时,
a2 b2
a2 b2 a b
它的双曲线方程可设为x2-y2
a2 b2
=l(l¹0).
【备注2】抛物线:
抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(
p p
,0),准线方程x=- ,开口向右;抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐
2 2
p p p p
标是(- ,0),准线方程x= ,开口向左;抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0, ),准线方程y=- ,开
2 2 2 2
口向上;