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因式分解
提取公因式、公式法
【知识要点】
:.
:.
: 〔1〕;
〔2〕;
〔3〕.
:一“提〞〔取公因式〕,二“用〞〔公式〕.
〔1〕注意因式分解与整式乘法的区别;
〔2〕完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项式.
【典型例题】
例1以下从左到右的变形,属于分解因式的是()
A.(x+3)(x-2)=x2+x-6 -ay+1=a(x-y)+1
-=(x+)(x-) +3x=3x(x+1)
例2将以下多项式分解因式
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
〔5〕 〔6〕
例3把以下各式分解因式
〔1〕a2-4b2 〔2〕
〔3〕 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕〔8〕3y2-27
〔9〕 〔10〕
例4分解因式
第2页
〔1〕
〔2〕
例5计算
〔1〕 〔2〕20232-4000×2023+20232
例6利用因式分解求的值.
例7设n为整数,用因式分解说明能被4整除.
【小试锋芒】
,
:=
:
:=
:
:
,能用公式法分解因式的是〔〕
-xy +xy -y2 +y2
,是因式分解的为〔〕
A. B.
C. D.
()
A. B.
C. D.
a
a
b
b
b
b
a
图乙
图甲
〔〕〔如图甲〕,把余下的局部拼成一个矩形〔如图乙〕,根据两个图形中阴影局部的面积相等,可以验证〔〕
A.
B.
C.
D.
第3页
:
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
【大展身手】
〔〕
-x2y=x(y2-xy) -6x2y2=3xyz(3-2xy)
-6bx+3x=3x(a2-2b) D.+=(x+y)
2.-6xn-3x2n分解因式正确的选项是〔〕
〔-2xn-x2n〕 B.-3xn(2-xn) C.-3(2xn+x2n) D.-3xn(xn+2)
〔〕
①x2-4x+4②6x2+3x+1③4x2-4x+1④x2+4xy+2y2⑤9x2-20xy+16y2
A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
〔3a-4b〕(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是〔〕
(7a-8b)(a-b) (7a-8b)2
(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b)2
①16x5-x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2④-4x2-1+4x中,分解因式的结果中含有相同因式的是〔〕
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
①2a+b和a+b,②5m(a-b)和-a+b,③3(a+b)和-a-b,④x2-y2和x2+y2其中有公因式的是〔〕
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
:
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
〔5〕〔6〕
十字相乘法
【知识要点】
1、x2+px+q型的二次三项式中p和q都是整数:
〔1〕找出a,b使a+b=p且ab=q
〔2〕把q分解成两个整数的积的符号规律:
第4页
q>0那么a,b同号,假设p>0,a,b同正,假设p<0,a,b同负;
q<0那么a,b异号,假设p>0,a,b中正数绝对值大,假设p<0,a,b中负数的绝对值大.
〔3〕当二次项系数为负时,先提负号.
〔4〕注意题目中换元思想的运用.
2、十字相乘法的步骤:
〔1〕把二次项系数和常数项分别分解因数
〔2〕尝试十字图,使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次系数
〔3〕确定适宜的十字图并写出因式分解的结果
〔4〕检验
(我们形象的把它比喻成“拆两头,凑中间〞)
【典型例题】
〔1〕2x2-5x+3〔2〕-3x2-5x-2
〔3〕5x2+7xy-6y2.〔4〕
〔5〕〔6〕
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
,求a的值.
例4分解因式:
【小试锋芒】
1.
2.
.
-n的值是_________.
,那么p有_______个可能的取值.
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕〔6〕x2+7xy+12y2;
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〔7〕〔8〕
〔9〕〔10〕
〔11〕〔12〕
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
【大显身手】
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕〔6〕
:
.
分组分解法
【知识要点】
〔1〕定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式.
〔2〕原那么:分组后可直接提取公因式或直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解.
〔3〕有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可.
〔4〕对于四项式,在分解时可以“二二〞分组或“一三〞分组;
对于五项式,在分解时一般是“三二〞分组;
对于六项式,在分解时采用“三三〞、“三二一〞或“二二二〞分组。
〔1〕分组后能提取公因式
〔2〕分组后能运用公式
〔3〕重新分组〔有些多项式带有括号,要先把括号去掉重新组合成多项式,再分组〕
【典型例题】
〔一〕分组后能直接提公因式
例1分解因式
〔1〕 〔2〕
〔3〕〔4〕;
第6页
〔5〕 〔6〕
例2分解因式
〔1〕 〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕〔6〕
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
综合练****br/>〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕〔6〕
〔7〕〔8〕
〔9〕〔10〕
【小试锋芒】
〔1〕 〔2〕
〔3〕 〔4〕
〔5〕 〔6〕
〔7〕 〔8〕
〔9〕 〔10〕
(11) (12)
(13) (14)
〔15〕 〔16〕
〔17〕〔18〕
〔19〕
因式分解归纳总结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学****本章知识时,应注意以下几点。
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;
;
,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
,也可以表示多项式;
,应写成幂的形式;
,一般指在有理数范围内分解;
:
〔1〕通常采用一“提〞、二“公〞、三“分〞、四“变〞的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
〔2〕假设上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项〔添项〕等方法;
下面我们一起来回忆本章所学的内容。
【分类解析】
分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,,分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
例:求证:多项式的值一定是非负数
分析:现阶段我们学****了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。此题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
例:分解因式:
分析:此题假设直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的方法。
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说明:在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换〞是很重要的。
中考点拨:
,三边a,b,c满足
求证:
〔说明:此题是代数、几何的综合题,难度不大,学生应掌握这类题不能丢分〕
例2.:__________
〔说明:利用等式化繁为易〕
题型展示:
,求证:的值不大于100。
(说明:代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100,即要求它们的差小于零,把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。)
〔说明:利用因式分解简化有理数的计算。〕
【实战模拟】
:
2.:的值。
,两边x,y使,求矩形的面积。
:是6的倍数。〔其中n为整数〕
5.:a、b、c是非零实数,且,求a+b+c的值。
6.:a、b、c为三角形的三边,比拟的大小。