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一道不等式证明问题的感想
不等式的证明对高中学生来讲是难点,因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用,再加上不等量变形的技巧妙趣无穷,下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。
例题:设a∈R,函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1),假设|a|≤1,证明:|f(x)|≤5/4。
一、构造意识为主线,合理放缩是关键。分析:最大值是5/4,构造二次函数到达目标是比拟理想的结果,只是条件;|x|≤1,∣a∣≤1不好利用,只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。
证明一:|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1―x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4
二、标准模型为目标,合理换元是高招。分析:要证|f(x)|≤5/4,只需证―5/4≤f(x)≤5/4。这是常规的思路,寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。
证明二:∵|a|≤1,|x|≤1,可设x=sinα,a=cosβ,α,β∈R
那么f(x)=cosβsin2α+sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+sinα
∵―1≤cosβ≤1,―1≤sin2α―1≤0
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∴sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1,
即(sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4∴―5/4≤f(x)≤5/4
∴|f(x)|≤5/4。
三、一次函数雾里现,比拟大小看增减。分析:f(x)的解析式中把a当成自变量就是一次函数,并且斜率为负数或0,由函数的单调性f(x)的取值范围〔不等关系〕容易找到。
证明三:f(x)=a〔x2―1〕+x看作是a的一次函数g(a),
由|x|≤1得〔斜率〕x2―1≤0
〔1〕当x2―1<0时,关于a的一次函数g(a)=f(x)是减函数,
∴g(1)≤f(x)≤g(―1)
∴x2―1+x≤f(x)≤―〔x2―1〕+x,
∴(x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4∴|f(x)|≤5/4。
〔2〕当x2―1=0时,g(a)=f(x)=x
∴∣f(x)∣=|x|≤1,显然|f(x)|≤5/4。综上可知|f(x)|≤5/4。
四、变量转换出新意,纲举目张非奇迹。
分析:把变量a当成主线,变量a的范围可以牵出f(x)的范围,它表达出变量转换的神奇,当然这并不影响变量之间的内在联系,却为不等式的构造开辟了新的途径。
证明四:〔1〕当x2―1<0时,f(x)=ax2+x―a变形为:a=(f(x)―x)/(x2―1),
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∵|a|≤1,∴|(f(x)―x)/(x2―1)|≤1∴―1≤(f(x)―x)/(x2―1)≤1,
去分母得:x2―1+x≤f(x)≤―〔x2―1〕+x
∴(x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4
〔2〕当x2―1=0时,f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1,显然|f(x)|≤5/4。
综上可知|f(x)|≤5/4。
五、常规思路也见效,分类讨论须知道。
分析:这本来就是二次函数f(x)在闭区间〔x∈[―1,1]〕内极值的问题,只要就对称轴(x=―1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论,当a=0时f(x)为一次函数也不要忘记。
证明五:函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1),
〔1〕当a=0时,f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1,结论显然成立。
〔2〕当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的对称轴是x=―1/2a,由于|a|≤1,x=―1/2a∈〔―∞,―1/2]∪[1/2,∞〕①当|―1/2a|≥1时,无论二次函数f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)图象开口如何,x∈[―1,1]都是单调区间,必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|,而|f(±1)|=1,∴|f(x)|≤5/4显然成立。②当|―1/2a|﹤1时,二次函数f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2-(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)〔端点处已无须考虑〕,在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1时“=〞成立。综上可知|f(x)|≤5/4。
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不等式的证明本来就没有一定的模式,是发挥学生想象力的领域,上面五种方法充分做到了这些。