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2011届高三摸底测试
数学试题(文)
一、填空题(本大题满分
48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4
分,否则一律得零分.
={a、b、c、d、e},集合A={a、b},B={b、c、d},则A∩CUB=________.
(x)
2x
1,则f1(3)=____________.
x
1
{an}中,a5+a8+a11+a14+a17=50,则S21=
.
、b满足|
a|=2,|b|=3,且|a+b|=7,=
.
,每个小球上写着一个两位数,一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球,现任意取一个小球,取出小球上两位数的十位数字比个位数字大
的概率是
.
=1的解是
.
:则工程总时数为
_.
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
——
——
a、b
c
c
d、e
工时(天)
2
4
5
7
4
3
–2x+m=0的两个根为、,且|–|=2,则实数m的值是
.
2
2
.
(x+2)+(y–1)=5关于原点对称的圆的方程为
:(1)常数列既是等差数列,又是等比数列;
(2)实数等差数列中,若公
差d<0,则数列必是递减数列;(3)实数等比数列中,若公比q>1,则数列必是递增数列;
(4)lim(
2
4n1)1;(5)首项为
a1,公比为
q的等比数列的前
n项和为
n
n
4n
a1(1
qn)
.其中正确命题的序号是
.
Sn=
q
1
x
y
5
(x,y)满足不等式组:2x
y
6,则目标函数K=6x+8y的最大值是
.
x
0,y
0
{an}中,对任意的正整数
n,都有an≤an+1,且对任意的正
整数k,该数列中恰有
k个k,则a2008=
.
二、选择题(本大题满分
16分)本大题共有4题,每题都给出代号为
A、B、C、D的四个结
论,其中有且只有一个结论是正确的,必本大题满分
16分)须把正确结论的代号写在题
后的圆括号内,选对得
4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆
括号内),一律得零分.
,正确的是
(
)
-1-
A
B
C
D
,焦点在y轴上的抛物线上的一点
P(m,-2)到焦点距离为
4,则m的值
为
(
)
A.-2
-2
-4
(
r
)2n1存在,则r的取值范围是
(
)
12r
1
>-
1
或r<-1
≥–或r≤-1
3
3
>-1或r≤-1
D.-1≤r≤-1
3
3
,b成80°角,点P是a,b外的一个定点,若过
P点有且仅有n条直线与a,
b所成的角相等且等于
45°,则n的值为
(
)
三、解答题(本大题满分
86分)本大题共有
6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本小题满分
12分)
解不等式:
log2(x2
x2)log2(2x
2).
18.(本小题满分
12分)
已知sin22
sin2coscos21,(0,),求sin
、tan
的值.
2
19.(本题满分14分)本题共有3
个小题,第1小题满分4分,第2、3小题满分各
5分)
已知边长为6的正方形ABCD
所在平面外一点P,PD平面ABCD,PD=8,
1)连接PB、AC,证明:PBAC;
2)求PB与平面ABCD所成的角的大小;
3)求点D到平面PAC的距离.
-2-
20.(本题满分14分)本题共有
2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
在美国广为流传的一道数学题目是:老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每
年年末(12月底)加薪一次,每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加
1000
元;第二种方案是每半年(
6月底和12月底)各加薪一次,每次所加的工资数是在上次
所加工资数的基础上再增加
300元,请选择一种.
根据上述条件,试问:
(1)如果你将在该公司干十年,你将选择哪一种加工资的方案?(说明理由)
(2)如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元,那么a在什么范围内取值时,选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪?
21.(本题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1小题满分 4分,第2小题满分 6分,第3小
题满分6分)
设有抛物线 C:y=–x2+9x–4,通过原点 O作C的切线y=mx,使切点 P在第一象限.
2
(1)求m的值,以及 P的坐标;
(2)过点P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q;
(3)设C上有一点 R,其横坐标为 t,为使 OPQ的面积小于 PQR的面积,试求 t的取值
范围.
22.(本题满分18分)本题共有3
个小题,第1小题满分3分,第2小题满分7分,第3小
题满分8分)
n
n
y=f
–1(x)能确定数
由函数y=f(x)确定数列{a},a=f(n),函数y=f(x)的反函数
–1
n
*
,都有bn=an,则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”.
列{bn},bn=f(n),若对于任意
N
(1)若函数f(x)=px
1确定数列{an}的自反数列为{bn},求an;
x
1
-3-
(2)在(1)条件下,
n
正数数列{xn}的和平均数,若dn=
2
,
1
1
1
1
an
1
x1
x2
xn
Sn数列{dn}的前n之和,Hn数列{Sn}的和平均数,求
lim
Hn;
n
n
(3)已知正数数列{cn}的前n之和Tn
1(cn
n).求Tn表达式.
2
cn
参考答案
一、填空
1.{a}
2.-
4.-3
=k
9.(x-2)2+(y+1)2=5
6
10.(2)、(4)
二、
三、解答(本大分
86分)本大共有6,解答下列各必写出必要的步.
:原不等式形
x2
x
2
x
1
0
x2
x
2
(x
2)(x
x
1
0,
x2
3x
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分
2x 2
0,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分
0
x
2,
,所以x>3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
0
x
3
:由sin22
sin2
cos
cos2
1,得
4sin2
cos2
2sin
cos2
2cos2
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
-4-
2cos2
(2sin2
sin
1)
0
2cos2
(2sin
1)(sin
1)
0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
因
(0,
),所以sin
10,且cos0,
2
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
所以2sin
-1=0,即sin
=
9分
2
所以
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
,即tan
6
3
19.(1)明:接
BD,交AC于O,在正方形ABCD中,ACBD,
又PD平面ABCD,所以,PDAC,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
所以AC
平面PBD,故PB
A
C.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解:因PD平面ABCD,
PBD就是PB与平面ABCD所成的角,⋯⋯⋯
6分
在PBD中,PD=8,BD=62
2
2
所以tanPBD=
3
APO=arctan
22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
3
PB与平面ABCD所成的角的大小
arctan
22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
3
(3)解:接PC,点D到平面PAC的距离h,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
有VD–PAC=VP–ACD,即:1
SPAC
h=
1
PDADDC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
3
6
在PAC中,PO,然POAC,PO=82
24
41
h=
41
所以点D到平面PAC的距离
2441⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
41
:(1)第10年末,依第一方案得
1000+2000+⋯+10000=55000(元)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
依第二方案得300+300×2+300×⋯3+300×20=63000(元)⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
∵63000-55000=8000(元)
∴在公司干10年,第二方案比第一方案多加薪
8000元.⋯⋯⋯⋯
6分
(2)第n年末,依第一方案,得:1000(1+2+3+⋯+n)=500n(n+1)(元)⋯⋯
8分
依第二方案,得:a(1+2+3+⋯+2n)=an(2n+1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
-5-
由意an(2n+1)>500n(n+1)所有正整数恒成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
即a>500(n
1)
250
250
250
250
1000.
2n
1
2n
1
3
3
∴当a>
1000,是第二方案加薪多.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
3
9
:点P的坐(x1,y1),y1=kx1⋯⋯①,y1=–x12
+
x1–4⋯⋯②,
9
2
①代入②,得:
2
2分
x1+(k–)x1+4=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
因点P切点,所以
9
2
17
或k=
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(k–
)–16=0,得:k=
2
2
2
当k=17x1=–2,y1=-17;当k=1,x1=2,y1=1;
2 2
因点P在第一象限,故所求的斜率
k=
1,P的坐(2,1),⋯⋯⋯⋯⋯
6分
2
(2)P点作切的垂,其方程:
y=-2x+5⋯⋯③,代入抛物方程,得:
2
13
9
,y2=-4,
x-
x+9=0,Q点的坐
(x2,y2),2x2=9,所以x2=
2
9,-4),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
所以Q点的坐(
10分
2
9
(3)C上有一点R(t,-t
2
+
t-4),它到直PQ的距离:
2
|2t(t2
9t4)5||t2
13t9|
d=
2
=
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
5
5
点O到直PQ的距离PO=
5,SOPQ=
1
1
PQd,
2
PQOP,SPQR=
2
因OPQ的面小于
PQR的面,SOPQ<SPQR,
即:OP<d,即:|t2
13t
9|>5,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
2
t2
13t+4>0或t213t+14<0
2
2
解之得:t<
13
105或t>
13
4
105
4
所以t的取范t<
13
4
105或t>13
105.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
16分
4
:(1)由意的:f–1(x)=1
x=f(x)=px
1,所以p=-1,⋯⋯⋯⋯2分
x
p
x
1
所以an=
n
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
n 1
-6-
(2)an=
n
1,dn
2
1
1
n,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
n
1
an
Sn数列{dn}的前n和,Sn
n(n
1),⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
又Hn数列{Sn}的和平均数,
2
所以Hn
1
n
1
2
n
2
(n1)⋯⋯⋯8分
1
2
2
S1
S2
Sn
1223
n(n1)
lim
Hn
lim
n
1
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
n
2n
2
n0
n
(3)因正数数列{cn}的前n之和Tn
1(cn
n).
2
cn
所以c1
1(c1
n),解之得:c1=1,T1=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
2
c1
当n
2时,cn
Tn
Tn1,所以2Tn
Tn
Tn1
n
,
Tn
Tn
1
Tn
Tn
1
Tn
n
,即Tn2
Tn2
1
n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
14分
Tn1
所以,Tn2
1
Tn2
2
n1,Tn2
2
Tn2
3
n
2,
,T22
T12
2,累加得:
Tn2
T1
2
23
4
n,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
16分
Tn2
1
2
3
4
n
n(n
1),Tn
n(n1)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18分
2
2
-7-