文档介绍：二叉排序树
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为:二叉排序树或者是空树,或者是满足如下性质的二叉树:
①若它的左子树非空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;
②若它的右子树非空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质),故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
二叉排序树的特点
由BST性质可得:
(1) 二叉排序树中任一结点x,其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
(2) 二叉排序树中,各结点关键字是惟一的。
注意:
实际应用中,不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同,所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于",或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于",甚至可同时修改这两个性质。
(3) 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
下图所示的两棵树均是二叉排序树,它们的中序序列均为有序序列:2,3,4,5,7,8。
5
7
3
8
4
2
2
3
4
5
7
8
typedef int KeyType; //假定关键字类型为整数
Typedef struct node { //结点类型
KeyType key; //关键字项
InfoType otherinfo; //其它数据域,InfoType视应用情况而定,下面不处理它
struct node *lchild,*rchild; //左右孩子指针
} BSTNode;
typedef BSTNode * BSTree; //BSTree是二叉排序树的类型
二叉排序树上的运算
(1) 二叉排序树的插入和生成
①二叉排序树插入新结点的过程
在二叉排序树中插入新结点,要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是:
(a)若二叉排序树T为空,则为待插入的关键字key申请一个新结点,并令其为根;
(b)若二叉排序树T不为空,则将key和根的关键字比较:
(i)若二者相等,则说明树中已有此关键字key,无须插入。
(ii)若key<T→key,则将key插入根的左子树中。
(iii)若key>T→key,则将它插入根的右子树中。
子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去,直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中,或者直到发现树中已有此关键字为止。
二叉排序树插入新结点的递归算法
InsertBST(BSTNode *Tree,KeyType key)
{
if(*Tree==NULL)
{
BSTNode *p= new BSTNode;
p->key=key;
p->lchild=NULL;
p->rchild=NULL;
Tree=p;
}
else
{
if(tree->key>key)
insert(tree->lchild,key);
else insert(tree->rchild,key);
}
}
二叉排序树插入新结点的非递归算法
void InsertBST(BSTNode *Tptr,KeyType key)
{ //若二叉排序树*Tptr中没有关键字为key,则插入,否则直接返回
BSTNode *f,*p=TPtr; //p的初值指向根结点
while(p){ //查找插入位置
if(p->key==key) return;//树中已有key,无须插入
f=p; //f保存当前查找的结点
p=(key<p->key)?p->lchild:p->rchild;
//若key<p->key,则在左子树中查找,否则在右子树中查找
} //endwhile
p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
p->key=key; p->lchild=p->rchild=NULL; //生成新结点
if(TPtr==NULL) //原树为空
Tptr=p; //新插入的结点为新的根
else //原树非空时将新结点关p作为关f的左孩子或右孩子插入
if(key<f->key)
f->lchild=p;
else f->rchild=p;
} //InsertBST
二叉排序树的生成,是从空的二叉排序树开始,每输入一个结点数据,就调用一次插入算法将它插入到当前已生成的二叉排序树中。生成二叉排序树的算法如下:
BSTree CreateBST(void)
{ //输入一个结点序列,建立一棵二叉排序树,将根结点指针返回
BSTree