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一、知识要点
某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。这本书共有多少页?
【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=:
(30+60)×11÷2=495(页)
想一想:如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
练****1:
,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。这批零件共有多少个?
,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
【答案】1.(20+48)×15÷2=510(个)
2.(20+50)×7÷2=245(页)
3.(6+16)×11÷2=121(个)
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?
【思路导航】开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。
练****2:
,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?
,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了?
,44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
【答案】1.(79+1)×79÷2=3160(次)
+1+2+3+……+9=45(只)44<45,所以不能。
【例题3】某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手?
【思路导航】假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次).
练****3:
,每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛,一共要进行多少场比赛?
,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手?
,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
【答案】(20+1)×20÷2=210(场)
2.(46+1)×46÷2=1081(次)
【例题4】求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷2=50对,所以,1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练****4:
~199这199个连续自然数的所有数字之和。
~999这999个连续自然数的所有数字之和。
~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
【答案】1.(1+9+9)×(200÷2)=1900
2.(9+9+9)×(1000÷2)13500
3.(2+9×3)×(3000÷2)+3=43503
【例题5】求1~209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0~199的所有数字之和,再求200~209的所有数字之和,然后把它们合起来。0~199的所有数字之和为(1+9×2)×(200÷2)=1900,200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。所以,1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。
练****5:
~308连续自然数的全部数字之和。
~2009连续自然数的全部数字之和。
~5000的全部数字之和。
【答案】1.(308+1)×308÷2=47586
2.(2009+1)×2009÷2=2019045