初三数学锐角三角函数含.doc

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中考要求
内容
基本要求
略高要求
较高要求
认识锐角三角函数(正弦、余由某个角的一个三角函数值,会求
能用三角函数解决与
锐角三角函数
弦、正切、余切),知道特别
这个角其余两个三角函数值;会求
直角三角形相关的简
角的三角函数值
含有特别角的三角函数值的计算
单问题
会解直角三角形;能依据问题的需
能综合运用直角三角
要增加辅助线构造直角三角形;会
解直角三角形
知道解直角三角形的含义
形的性质解决相关问
解由两个特别直角三角形构成的
题
组合图形的问题
例题精讲
模块一三角函数基础
一、锐角三角函数的定义
以以下图,在
Rt△ABC中,a、b、c分别为A、B、
C的对边.
B
a
c
C
b
A
(1)正弦:Rt
ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做
A的正弦,记作sinA,即sinA
a.
c
(2)余弦:Rt
ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做
A的余弦,记作cosA,即cosA
b.
c
(3)正切:Rt
ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做
A的正切,记作tanA,即tanA
a.
b
注意:
①正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的,要防范应用时对任意三角形随意套用定义.
②sinA、cosA、tanA分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号,是一个整体,不可以理解为sin与A、
cos与A、tan与A的乘积.
③在直角三角形中,正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的
比值,当这个锐角确立后,这些比值都是固定值.
二、特别角三角函数

三角函数
0
30
45
60
90
sinA
0
1
2
3
1
2
2
2
cosA
1
3
2
1
0
2
2
2
tanA
0
3
1
3
3
这些特别角的三角函数值必定要牢牢记住!
三、锐角三角函数的取值范围
在RtABC中,
C
90,a
0,b
0,c
0,a
c,b
c,又sinA
a,cosA
b,tanA
a,所
c
c
b
以
0sinA1,0
cosA
1,tanA
0.
四、三角函数关系
:
22sinA
sinAcosA1,tanA
cosA
:
(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值:sinAcos90A;
(2)任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值:cosAsin90A;
(3)任意锐角的正切值等于它的余角的余切值:tanAcot90A.
:
(1)A、B是锐角,若A
B,则sinA
sinB;若A
B,则sinA
sinB
(2)A、B是锐角,若A
B,则cosA
cosB;若A
B,则cosA
cosB
(3)A、B是锐角,若A
B,则tanA
tanB;若A
B,则tanA
tanB
【例1】已知在△ABC中,
A、B是锐角,且sinA
5
,tanB
2,AB
29cm,则S△ABC
.
13
【分析】过C作CD
AB于D,这样由三角函数定义获取线段的比:
sinA
CD
5,tanB
CD
2,
AC
13
BD
设CD
5m,AC13m,CD
2n,BD
n,解题的要点是求出
m、n值.
BDn
CD
5m,AD
AC2
CD2
(13m)2
(5m)2
12m
2
2
所以AB
AD
BD
5
29
29
12m
m
m
2
2
所以m
2,CD10,S△ABC
1
145
ABCD
2
小结:设△ABC中,a、b、c为A、B、C的对边,R为△ABC外接圆的半径,不难证明:与锐角三角函数相关的几个重要结论:

(1)S△ABC
1
1
1
bcsinA
acsinBabsinC;
2
2
2
(2)
a
b
c
2R.
sinA
sinB
sinC
【答案】145
【坚固】如图,点A在半径为R的
O上,以A为圆心,r为半径作
A,设
O的弦PQ与
A相切,求
证PAQA为定值.
【答案】证明线段乘积为定值,联想到三角形的面积,可以和三角函数联系起来.
∵S△APQ
1PAQAsinA,S△APQ
1rPQ,
2
2
∴PAQAsinArPQ.

PA
在△APQ中,sinA
PQ,∴PAQA
rPQ
PQ,
2R
2R
PAQA2Rr为定值.
【例2】求tan1
tan2
tan3
tan89
的值
【答案】∵tan
cot
1,tan
cot(90
)
∴tan1
tan89
tan1
cot11,tan2tan88
tan2
cot2
tan44
tan46
tan44
cot44
1,而tan45
1,
∴tan1
tan2
tan3
tan89
1.
【坚固】化简:
sin
cos
sin2
1tan2
sin
cos
2
sin
cos
2
2
2
【分析】原式
cos
sin
cos
sin
cos2
sin2
sin
cos
cos
sin
【答案】sin
cos
sin
1
cos2
1
sin
cos
【例3】已知tan
3,求(1)
2
(2)
1
sin
a
1
sin
cos
sin
2
2
sin
2

O
,
sincos.
(090).

Q
sin
1
cos
sin
sin
sin
cos
sin
【答案】⑴
cos
cos
1
cos2
cos
sin2a
cos
cos2
cos
sin
sin
sin
sin
1
sin
1
2
1
2
1sin
⑵
sin
sin
2
1
sin
1
sin2
cos2
cos

cos
2
cos
sin
sin
,
cos2
cos
3
sin
cos
.

【坚固】已知tan
2,求4sin
2cos
.
5cos
3sin
4sin
2cos
4sin
2
2
2
6
cos
【答案】
4
.
5cos
3sin
3sin
5
3
2
11
5
cos
【例4】已知
为锐角,且2sin2
5cos
1
0,求
的度数.
2
2
1
【答案】∵sin
cos
∴2(1
2
)5cos
1
0,即:2cos2
5cos
3
0.
cos
∴(2cos
1)(cos
3)
0
.
解得:cos
3或cos
1.
2
∵0≤cos≤1,∴cos
1,∴
60
.
2
【坚固】若
为锐角,且2cos2
7sin
5
0,求
的度数.
【答案】由
为锐角,可知0
sin

2
7sin
5
2
2
1
可知
2cos
0,sin
cos
2sin
2
7sin
30,解之得sin
1
30.
2
【例5】已知sin
cos
2
(
为锐角),求作以
1
和
1
为两根的一元二次方程.
sin
cos
【分析】∵sin
cos
2,两边平方得:
sin2
cos2
2sin
cos
2
又∵sin2
cos2
1,∴sin
cos
1.
2
∴
1
1
sin
cos
2
2,
1
1
2
sin
cos
sin
cos
cos
sin
∴以
1
和
1
为两根的一元二次方程为:
x2
2
2x
2
0
sin
cos
【答案】x2
2
2x
20
【坚固】若方程
2
2ax
2
1
0的一个根是sin
,则它的另一个根必是
cos
或cos
.
2x
a
【答案】不如设方程的另一根为
m,由一元二次方程的根系关系可知
sin
m
a,msin
a2
1,
2
故msin
(sin
m)
2
1,整理可得2msin
(sin
m)
1,即sin2
m2
1,
2
2
又sin2
cos2
1,故m
cos.
【坚固】已知:△ABC中,方程(sinB
2
(sinA
sinC)x
(sinC
sinB)0的两根相等,求证B60.
sinA)x
【答案】两根相等则鉴识式为0,但是观察系数的规律,能否有其余的好方法呢?
∵此方程系数之和为0,∴x1必为此方程的根.

又∵此方程两根相等,∴x1
x2
1,∴x1x2
sinC
sinB
1.
sinB
sinA
又由正弦定理,有
cbb
a,∴b
c
a.
2
再由余弦定理,有
c2
a2
b2
a2
c2
(c
2
a)2
3(a2
c2)2ca
≥
6ca2ca
1
cosB
2ca
2ca
8ca
8ca
.
2
∴B≤60,且等号不会建立,不然方程就不存在了.
【坚固】在△ABC中,A
60
,最大边与最小边的边长分别是方程
2
27x320的两个根,求△ABC
3x
的外接圆半径和内切圆的面积.
【答案】题目中涉及到边长的关系,以及外接圆半径,这为正弦定理供给了便利条件.
∵A
60
,且明显此三角形有两边不等(即以已知方程为根的两边),
∴△ABC中,A既不是最大角也不是最小角,不防设
b为最大边,c为最小边,
由韦达定理,有
b
c
9,bc
32,
3
又由余弦定理,有:
2
2
2
2bccosA
a
b
c
b2
c2
bc
(bc)2
3bc
81
32
49.
∴a
7(a
7舍去)
又由正弦定理,有
R
a
7
7
,∴a
b
c7
916.
2sinA
3
3
2
3
2
S
1bcsinA
P
r(此中P
a
b
c,r为内切圆半径)
2
2
即8r
1
32
3
,∴r
3.∴内切圆面积Sπr2
π.
2
2
2
3
1
3
1
【例6】若0°<<30°,且sinkm(k为常数,且k<0),则m的取值范是.
3
0
<
30
°∴
sin0
sin
<
sin30
0sin
<1
【答案】∵°<
°<
°,即
<
2
∴0<km
1<1
,所以
1
km
1,又因为k
0
3
2
3
6
∴1
m
1
.
6k
3k
模块二解直角三角形
一、解直角三角形的看法
依据直角三角形中已知的量(边、角)来求解未知的量(边、角)的过程就是解直角三角形.

二、直角三角形的边角关系
如图,直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以概括:
(1)三边之间的关系:
a2
b2
c2(勾股定理)
A
(2)锐角之间的关系:
A
B90
c
b
(3)边角之间的关系:sinAcosB
a,cosAsinB
b,tanA
a
c
c
b

CBa
三、解直角三角形的四种基本种类
(1
)已知斜边和向来角边
(如斜边c,直角边a),由sinA
a
A,则
B90
A,b
c2
a2;
求出
c
(2
)已知斜边和一锐角
(如斜边c,锐角A),求出
B
90
A,a
csinA,b
ccosA;
(3)已知向来角边和一锐角(如a和锐角A),求出
B
90
A,b
atanB,c
a
;
sinA
(4)已知两直角边(如a和b),求出c
a2
b
2,由tanA
a,得B
90
A.
b
详尽解题时要擅长采纳公式及其变式,如
sinA
a
可写成a
csinA,
a
等.
c
c
sinA
四、解直角三角形的方法
解直角三角形的方法可概括为:“有斜(斜边)用弦(正弦,余弦),无斜用切(正切,余切),宁乘毋除,取原避中”.这几句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦;无斜边时,就用正切或余切;
当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求得时,
则用原始数据,尽量防范用中间数据.
五、解直角三角形的技巧及注意点
在RtABC中,AB90,故sinAcos(90A)cosB,,可在解题时进行等量代换,以方便解题.
六、如何解直角三角形的非基本种类的题型
对解直角三角形的非基本种类的题型,平常是已知一边长及一锐角三角函数值,可经过解方程(组)来
转变成四种基本种类求解;
(1)假如有些问题一时难以确立解答方式,可以依照题意画图帮助分析;
(2)对有些比较复杂的问题,常常要经过作辅助线构造直角三角形,作辅助线的一般思路是:①作垂
线构成直角三角形;②利用图形自己的性质,如等腰三角形顶角均分线垂直于底边等.
七、直角三角形中其余重要看法
1)仰角与俯角:在视野与水平线所成的角中,视野在水平线上方的叫做仰角,⑴.
2
的比叫做坡度(或叫做坡比),用字母表示为i
h
()坡角与坡度:坡面的垂直高度h和水平宽度l
,
l
坡面与水平面的夹角记作
,叫做坡角,则i
h
.坡度越大,⑵.
tan
l

(3)方向角(或方向角):方向角一般是指以观察者的地址为中心,将正北或正南方向作为初步方向
旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),平常表达为北(南)偏东(西)××⑶.
视野
北
铅
仰角
水平线
h
i=h:l
垂
俯角
线
视野
l
图(1)
图(2)
图(3)
八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题:
1)分析题意,依据已知条件画出它的平面或截面表示图,分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等看法的意义;
2),但可增加适合的辅助线,把它们切割成一些直角三角形和矩形(包含正方形);
3)依据已知条件,选择适合的边角关系式解直角三角形;
4)依照题目中已知数据的精确度进行近似计算,检验能否吻合实质,并按题目要求的精确度取近似值,注明单位.
【例7】如图,某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望,甲、乙两学生分别在这楼房的A,B两层,
甲在A层测得电视塔塔顶D的仰角为,塔底C的俯角为,乙在B层测得塔顶D的仰角为,
因为塔底的视野被挡住,乙没法测得塔底的俯角,已知A,B之间的高度差为a,求电视塔高CD
(用含
,,,a的代数式表示)
【分析】作AE
CD于E,BF
CD于F,设DE
x
在Rt
ADE中,由tan
DE
,得AE
DE
x
,
AE
tan
tan
在Rt
DBF中,由tan
DF,得
BF
BF
DF
x
a,因为AE
BF,
tan
tan
所以
x
x
a,解得x
a
tan
,从而AE
tan
a
tan
tan
tan
tan
tan
在Rt
AEC中,由tan
EC
,得EC
AE
tan
atan
AE
tan
tan
所以CD
DE
atan
atan
a
tan
tan
EC
tan
tantan
tan
tan
tan

D
A
α
E
β
a
Bθ
F
【答案】atantan
tantan

黄浦江
C
【例8】一座建于若干年前的水库大坝的横断面以以下图,此中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5

,方案以下:①
将背水坡AB的坡度由1::
3;
②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成
9块同样的矩形地域,挨次相间地种草
与种花.
(1)求整修后背水坡面的面积;
(2)假如种花的成本是每平方米
25元,种草的成本是每平方米
20元,那么种植花草最少需要多
少元?
【答案】(1)作AE
BC于E.
∵本来的坡度是1:,∴
AE
1
4
.
EB

3
设AE
4k,BE
3k,
∴AB
5k,
又∵AB5米,
∴k1,则AE4米.

D
BC
设整修后的斜坡为AB,由整修后坡度为1:
3,有
AE
1,∴∠ABE=30°,
EB
3
∴AB
2AE8米.∴整修后背水坡面面积为908720
米2.
(2)将整修后的背水坡面分为
9块同样的矩形,则每一地域的面积为
80米2.
解法一:∵要挨次相间地种植花草,有两种方案:
第一种是种草
5块,种花
4块,需要
20×5×80+25×4×80=16000元;
第二种是种花
5块,种草
4块,需要
20×4×80+25×5×80=16400元.
∴应选择种草
5块、种花
4块的方案,需要花销16000元.
解法二:∵要挨次相间地种植花草,则必然有一种是5块,有一种是4块,而种花的成本
是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,
∴两种方案中,选择种草5块、种花4块的方案花销较少.
即:需要花销20×5×80+25×4×80=16000元.
【例9】如图,在某海域内有三个港口A、D、,港口D在港口A

B点地址处,此时发现船舱漏水,
超出75吨时,
机每小时可将8吨的海水排出船外,问此船在B处最少应以如何的航行速度驶向近来的港口停靠,
才能保证船在抵达港口前不会淹没(要求计算结果保留根号)?并指出此时船的航行方向.

【分析】连结
AC、AD、BC、BD,延长AT,过B作BT
AT于T,AC与BT交于点E.
过B作BP
AC于点P.
由已知得
BAD90,
BAC
30,AB
3
25
75(海里),
在
BEP和
AET中,
BPE
ATE90
,
AET
BEP,
∴
EBP
EAT
30
.
∵
BAT
60,∴
BAP
30
,从而BP
1
75
(海里).
2
∵港口C在B处的南偏东
75方向上,∴
CBP45.
在等腰RtCBP中,BC
2BP
752(海里),∴BC
2
BAD是Rt
,∴BDAB.
综上,可得港口
C离B点地址近来.∴此船应转向南偏东
设由B驶向港口
C船的速度为每小时
x海里,

.
75方向上直接驶向港口C.
则据题意应有

2
548)
5,解不等式,得x202
(海里).
x
(60
答:此船应转向沿南偏东
75的方向向港口C航行,且航行速度最少不低于每小时
202海里,
能保证船在抵达港口前不会淹没.
【答案】此船应转向沿南偏东
75的方向向港口
C航行,且航行速度最少不低于每小时20
2海里,能保
证船在抵达港口前不会淹没.
【坚固】海面上B处有一货轮正在向正南方向航行,其航行路线是当它抵达正南方
C时,在驶向正西方的
目的地A处,且CA
CB
200海里,在AB中点O处有一客轮,其速度为货轮的一半,此刻客轮
要截住货轮取一件货物,于是选择某一航向行驶去截住货轮,那么当客轮截住客轮时最少航行了
多少海里,它所选择了如何的方向角?(行程保留整数海里,角度精确到度)
【分析】如图,由题意可知,ABC为等腰直角三角形,
假设客轮截住货轮的地址在BC边上时,过ODBC于D,OD为客轮抵达BC边的最短距离,
即客轮航行的行程为OD,由货轮速度为客轮的2倍可知,货轮航行的距离为2ODBC,即货
轮此时抵达了C点,
∴客轮截住货轮的地址不行能在BC边上.

∴客轮截住货轮的地址在
AC边上.
设在AC边上的F点两船相遇,设客轮航行的距离为
x,即OE
x,则BCCE
2x,
∴CE2x
200,
过O作OF
AC于F,则OF
1BC
100海里,FC
1AC
100海里,
2
2
EF3002x
在Rt
DEF中,OF2
EF2
OE2,
即1002
(3002x)2
x2,解得x
600
1006,即x1
282,x2118
3
OEOA141
∴x1282不吻合题意,∴x118
即当客轮截住货轮时,航行了
118海里.
在RtOEF中,cosEOF
100

118

B
O
D
∴EOF32
∴客轮的航行方向应为南偏东32.
【答案】客轮的航行方向应为南偏东32

AFEC
课堂检测
1.(辽宁比赛)如图,湖心岛上有一凉亭,现欲利用湖岸边的广阔平坦地带,丈量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB(见表示图),可供使用的工拥有测倾器、皮尺.
A
B
(1)请你依据现有条件,设计一个丈量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB的方案,画出丈量方案的平
面表示图,并将丈量的数据注明在图形上(所测的距离用m,n表示,角用,表示,测倾器高
度忽视不计);
(2)依据你所丈量的数据,计算凉亭到湖面的高度AB(用字母表示).